Logaritam

Logaritamska funkcija po tri baze, crveno po bazi 10, zeleno po bazi e, plavo po bazi 2

Logaritam nekog pozitivnog realnog broja x u nekoj bazi b je broj y kojim se treba potencirati bazu da bi dobili zadanu vrijednost x.

Što pišemo na sljedeći način:

${\text{ ako je }}x=b^{y},{\text{ onda je }}y=\log _{b}(x)\,.$

Primjeri logaritama brojeva po bazi 10:

$\log _{10}(10)=log_{10}(10^{1})=1\,.$

$\log _{10}(100)=log_{10}(10^{2})=2\,.$

$\log _{10}(1.000)=log_{10}(10^{3})=3\,.$

$\log _{10}(10.000)=log_{10}(10^{4})=4\,.$

Negativni logaritam se piše kao n = −logb x; primjer njegove uporabe je u kemiji gdje predstavlja koncentraciju protona (pH).

Antilogaritam se koristi da označi funkciju inverznu logaritmu (eksponencijalna funkcija, odnosno stupnjevanje). Piše se kao antilog_b(n) i znači isto što i bⁿ.

Dvostruki logaritam je inverzna funkcija dvostruke eksponencijalne funkcije. Superlogaritam ili hiperlogaritam je inverzna funkcija supereksponencijalne funkcije. Superlogaritam za x raste sporije i od dvostrukog logaritma za veliko x.

Diskretni logaritam se spominje u teoriji konačnih grupa. Vjeruje se da je za neke konačne grupe diskretni logaritam vrlo teško izračunati, dok je diskretne eksponencijale vrlo lako izračunati. Ova asimetrija ima primjene u kriptografiji.

Povijest

Jost Birgi, švicarski proizvođač satova je prvi primijetio logaritme. Metodu prirodnog logaritma je prvi predložio 1614 John Napier u svojoj knjizi Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Ova metoda doprinijela je napretku znanosti, a posebno astronomiji, čineći neke teške računice mogućim. Sve do uporabe računala u znanosti, ova metoda je korištena u svim granama praktične matematike. Pored svoje uporabe u računima, logaritmi su popunili važno mjesto u višoj, teorijskoj matematici.

U početku, Napier je logaritme zvao "umjetnim brojevima", a antilogaritme "prirodnim brojevima". Kasnije, Napier je stvorio riječ logaritam, zvučnu kovanicu koja je trebala označiti odnos: λoγoς (logos) i αριθμoς (arithmos) što predstavlja broj. Termin antilogaritam je uveden pred kraj 17. stoljeća i, iako se nikada nije pretjerano koristio u matematici, postojao je u tablicama dok nije izašao iz uporabe.

Logaritamske operacije

$\log _{b}(x\cdot y)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,$

$\log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$

$\log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,$

$\log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}$

Ukidanje eksponenta

$b^{\log _{b}(x)}=x$

$\log _{b}(b^{x})=x\!\,$

Promjena osnove

$\log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}$

Prirodni logaritam

Logaritam po bazi e (Eulerov broj) zovemo prirodnim logaritmom i pišemo kao ln umjesto log.

$\ln(e^{3})=3\,.$ tj.--> 3 x lne = 3 x 1 = 3

Izvori

Nedovršeni članak Logaritam koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.