e (matematička konstanta)

Izvor: Wikipedija
(Preusmjereno s Broj e)
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje

Matematička konstanta , još nazvan i Eulerov broj ili Napierova konstanta, je baza prirodnog logaritma i jedan je od najznačajnijih brojeva u suvremenoj matematici, pored neutralnih elemenata za zbrajanje i množenje, 0 i 1, imaginarne jedinice i i broja pi. Osim što je iracionalan (dakle, realan), ovaj broj je još i transcendentan. Do tridesetog decimalnog mjesta, ovaj broj iznosi:

≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 34678 2376732 6727 267 274728 3 39^˘654...


Konstanta se može definirati kao:

  1. Limes niza brojeva
  2. Suma beskonačnog niza:
    gdje je n! faktorijela n.
  3. Pozitivna vrijednost koja zadovoljava sljedeću jednadžbu :
    istovjetnost između ova tri slučaja dokazanа.
  4. Ovaj broj se sreće i kao dio Eulerovog identitetа:


P math.png Nedovršeni članak E (matematička konstanta) koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.

Motivacija[uredi VE | uredi]

Kod linearnih funkcija oblika prirast vrijednosti funkcije po prirastu ulazne vrijednosti je konstantan i iznosi tj.

Kod polinomnih funkcija, tj. funkcija oblika rast se mijenja, tj. postoji funkcija koja opisuje mijenjanje vrijednosti (ili nagiba tangente na sve točke) prvobitne funkcije. Ta se nova funkcija naziva derivacija.

Kod transcedentih (nealgebarskih - prelaze granice 4 osnovne računske operacije) funkcija nagib je osobito važan, rast je eksponencijalan. Primjerice, kod funkcije lako se može računalnim programom ustvrditi da je graf njene derivacije vrlo sličan, ali uvijek (za sve elemente iz njene domene) nešto niži. Njena derivacija je približno jednaka Ipak, za (i jedino za) jediničan prirast ulazne vrijednosti rast izlazne je točno jednak To se lako dokaže: (to je jedina funkcija za koju to vrijedi).

Sada se nameće pitanje: postoji li eksponencijalna funkcija za koju vrijedi da za beskonačno mali prirast je prirast točno jednak Odgovor na ovo pitanje nije teško naći. Neka je

Pitamo se za koji je Računamo: odakle je pa dobivamo poznati limes Dokazuje se da je taj limes (kada ) jednak i nazivamo ga Eulerovim brojem i označavamo s

Povezanost s kompleksnim brojevima[uredi VE | uredi]

Gornji limes može se zapisati i kao Poznato je da vrijedi

Definicija imaginarnog eksponenta. Neka je Definiramo S drugačijim prikazom dobiva se poznata Eulerova formula Ovdje ćemo na "originalnoj" definiji broja pikazati zašto formula vrijedi.

Množenje kompleksnih brojeva svodi se na množenje njihovih modula i zbrajanja priklonih kuteva pa ako stavimo vidimo da dobivamo spiralu.

Objasnit ćemo Eulerov identitet, kada je Vratimo se na limes Očito se radi o kompleksnom broju kojeg uzastopno množimo sa samim sobom, baš kao u prošlom primjeru. Kako vidimo da se naš broj vertikalnk približava apscisi. Ako primotrimo luk jedinične kružnice sa središtem u ishodištu omeđen apscisom i pravcem vidimo da je uvijek kraći od "visine" našeg kompleksnog broja. No, se povećava pa se razlika smanjuje, tj. prikloni kut postaje radijana te se magnituda približava broju Dakle, svodi se na potenciranje magnitude (koja teži u ) i n-terostrukog zbrajanja kuteva (koji približno iznose radijana) što nas po kružnoj putanji () dovodi u točku To dokazuje, prema mnogima najljepšu "formulu" u matematici,