Numerička matematika

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje

Numerička matematika je grana matematike koja se bavi numeričkim približnim (aproksimativnim) rješavanjem matematičkih problema. Obzirom na polje matematike kojim se bavi, razlikujemo numeričku analizu, numeričku linearnu algebru, numeričko rješavanje nelinearnih jednadžbi, interpolacijske metode, aproksimativne metode, itd. Pored toga, važan zadatak numeričke matematike je ocjena grešaka numeričkih metoda, te analiza složenosti algoritama.

Numerička analiza[uredi VE | uredi]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Numerička analiza

Numerička analiza je grana numeričke matematike koja se bavi pronalaženjem i unapređivanjem algoritama za numeričko izračunavanje vrijednosti vezanih uz matematičku analizu, poput numeričkog integriranja, numeričkog deriviranja i numeričkog rješavanja diferencijalnih jednadžbi.

Posebna je uloga numeričkih metoda u rješavanju integrala i diferencijalnih jednadžbi, budući velik broj istih nije analitički rješiv, a izuzetno su važni u primjenama. Nasuprot tome, potreba za numeričkim deriviranjem nije izrazita, budući za deriviranje postoji konačan skup pravila pomoću kojeg je moguće derivirati svaku funkciju simboličkim postupcima.

Numerička linearna algebra[uredi VE | uredi]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Numerička linearna algebra

Numerička linearna algebra je grana numeričke matematike koja se bavi pronalaženjem algoritama za brzo rješavanje problema iz linearne algebre. U prvom redu treba istaknuti metode za rješavanje linearnih sustava, te metode za određivanje svojstvenih vrijednosti i inverza matrice. Za razliku od npr. numeričke analize, metode u numeričkoj linearnoj algebri nisu prvenstveno aproksimativne (mada postoje i takve), već je osnovni problem optimizirati vremensko trajanje i memorijske zahtjeve računalnog rješavanja problema. Sustavi linearnih jednadžbi i matrice koje se rješavaju ovim algoritmima u pravilu su velikih dimenzija (primjerice, sustav od 100 000 linearnih jednadžbi s isto toliko nepoznanica).

Interpolacijske metode[uredi VE | uredi]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Interpolacija

Interpolacijske metode su numeričke metode razvijene kako bi se kroz konačan broj točaka (koje najčešće predstavljaju neka mjerenja) provukla funkcija određenih karakteristika. Za takvu funkciju, koja prolazi kroz sve zadane toče, kažemo da interpolira zadani skup točaka. Interpolacijske metode prvenstveno se bave traženjem polinoma koji interpoliraju zadane točke, zbog mnogih dobrih karakteristika polinoma (poput neprekidnosti i glatkoće). S druge strane, pokazalo se da polinomi visokog stupnja iako interpoliraju, loše aproksimiraju funkciju, pa se problem interpolacije u praksi obično rješava traženjem po dijelovima linearnih funkcija ili po dijelovima kubnih funkcija (tzv. spline-ovi).

Aproksimativne metode[uredi VE | uredi]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Aproksimacija (matematika)

Aproksimativne metode su metode razvijene kako bi se čim bolje aproksimirala neka funkcija na zadanom intervalu. U praksi, funkcija koju pokušavamo aproksimirati često nije ni poznata, već znamo samo konačan broj njezinih točaka (mjerenja). Za razliku od interpolacijskih metoda, cilj ovoga puta nije naći funkciju koja će proći kroz sve zadane točke, već odrediti onu koja će ukupno najmanje odstupati od (pretpostavljene) funkcije na cijelom intervalu. Najkorištenija metoda za određivanje aproksimativne funkcije je "metoda najmanjih kvadrata".

Ocjena brzine i greške algoritama[uredi VE | uredi]

Važan dio numeričke matematike čine ocjene složenosti algoritama. Složenost algoritma se u grubo može podijeliti na vremensku složenost i memorijsku složenost. Memorijska složenost algoritma analizira količinu memorijskog prostora potrebnog za provođenje algoritma. U samim počecima numeričkih izračuna na računalima, memorija nije bila tako lako dostupna kao danas, pa je ova analiza imala puno važniju ulogu. Danas je pak značajnija analiza vremenske složenosti, koja daje ocjenu o broju osnovnih operacija (zbrajanja, množenja) koje algoritam mora obaviti, prema čemu se onda može odrediti vrijeme potrebno za provođenje algoritama. Tako razlikujemo (poredane po brzini) logaritamske, polinomijalne (linearne, kvadratne, kubne itd.) i eksponencijalne složenosti.

Ocjena greške sastavni je dio svake numeričke metode. Pri tome grešku koja nastaje računanjem aproksimacija na računalu dijelimo u dvije osnovne kategorije. Greške metode su greške koje generira sama upotreba aproksimacijske metode, i u pravilu ovisi o ulaznim parametrima računa. Osnovni cilj numeričke matematike je konstrukcija metoda koje rade čim manju grešku. Druga vrsta grešaka su greške zaokruživanja. Radi se o greškama koje nastaju zapisivanjem realnih brojeva u računalu, i na njih se numeričkim metodama ne može neposredno utjecati. Pa ipak, u numeričkoj su matematici analizirani načini progresije tih tipova grešaka - poznato je koje računske operacije znatno uvećavaju takve greške, pa je jedan od ciljeva konstrukcije numeričkih metoda izbjegavanje takvih operacija [1]

Izvori[uredi VE | uredi]