Kubna funkcija: razlika između inačica
m robot Mijenja: pl:Równanie sześcienne |
stranica nadopunjena sa novim sadržajima |
||
Redak 1: | Redak 1: | ||
⚫ | |||
[[Image:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|200px|graf kubne funkcije sa tri matematička korijena ]] |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
==Karakteristične vrijednosti kubne funkcije == |
|||
⚫ | |||
[[Image:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|300px||<center><math>f(x) = x^3 +3x^2 - 6x - 8\, \!</math><center> ]] |
|||
Kubna funkcija kao i svaka druga polinomna funkcija ima neke karakteristične vrijednosti koje u [[koordinatni sustav|koordinatnom sustavu]] na grafu funkcije predočavaju, na primjer, nulišta funkcije ili njene ekstreme (slika desno). |
|||
===Nulišta kubne funkcije=== |
|||
U analizi osobina neke funkcije uobičajeno je najprije naći nulišta funkcije, odn. nultočke grafa funkcije za koje funkcija poprima vrijednost nula. U prikazanom slučaju to vodi rješavanju kubne jednadžbe: |
|||
:<math> x^3 +3x^2 - 6x - 8=0 \, </math> |
|||
rješenja koje su : |
|||
:<math> x_1=-4, x_2=-1, x_3=2 \, </math> |
|||
Točke (-4, 0), (-1, 0) i (2, 0 ) predstavljaju zato nultočke grafa kubne funkcije sa slike. |
|||
Ukoliko općenito graf funkcije siječe apscisu, odn. x-os koordinatnog sustava, u tri točke tada će nulišta funkcije biti [[realni broj]]evi jer su i rješenja kubne jednadžbe realna. No, međutim, ukoliko graf funkcije siječe x-os samo u jednoj točki, tada će kubna jednadžba imati jedno realno rješenje dok će se dva rješenja nalaziti u domeni [[kompleksni broj|kompleksnih brojeva]] i to kao konjugirano-kompleksni par brojeva. |
|||
⚫ | |||
===Ekstremi kubne funkcije=== |
|||
⚫ | |||
Kubna funkcija ima dva ekstrema, jedan minimum i jedan maksimum funkcije. Za funkciju |
|||
⚫ | |||
== Rješenja kubne jednadžbe == |
|||
točke ekstrema funkcije nalazimo diferencirajući gornju jednadkost: |
|||
Rješenja kubne jednadžbe tj. nultočke funkcije dobiju se rješavanjem sljedeće jednadžbe: |
|||
:<math> |
:<math> dy=3x^2dx +6xdx -6dx \, </math> |
||
=== Osobine rješenja jednadžbe=== |
|||
Vrsta korijena jednadžbe se određuje po diskriminanti: |
|||
⚫ | |||
odakle slijedi da je |
|||
* ako je Δ < 0, onda jednadžba ima jedan realan i dva kompleksna korijena |
|||
* ako je Δ > 0, svi su korijeni realni i različiti |
|||
* ako Δ = 0, svi su korijeni realni i bar dva su jednaka . |
|||
=== Općenita rješenja === |
|||
Općenito rješenje za svaku kubnu jednadžbu |
|||
:<math>a x^3 + b x^2 + c x + d = 0</math>, jest po sljedećoj forumuli:<ref>http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7007111502216</ref> |
|||
:<math>\begin{align} |
|||
x_1 = |
|||
&-\frac{b}{3 a}\\ |
|||
&-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ |
|||
&-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ |
|||
x_2 = |
|||
&-\frac{b}{3 a}\\ |
|||
&+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ |
|||
&+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ |
|||
x_3 = |
|||
&-\frac{b}{3 a}\\ |
|||
&+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ |
|||
&+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}} |
|||
\end{align}</math> |
|||
:<math> dy=(3x^2+6x-6)dx \, </math> |
|||
:<math> y' = \frac{dy}{dx}=3x^2+6x-6 = x^2+2x-2. \, </math> |
|||
=== Lagrangeova metoda === |
|||
Ekstrem funkcije postoji za dy/dx=0, gdje na temelju rješenja [[kvadratna jednadžba|kvadratne jednadžbe]] zaključujemo da će kubna funkcija imati ekstreme u točkama |
|||
=== Cardanova metoda === |
|||
:<math> x_{1,2} =-1\pm \sqrt3 . \, </math> |
|||
O vrsti ekstrema (maksimum ili minumum funkcije) zaključuje se iz druge derivacije funkcije. |
|||
==Literatura== |
|||
*Gusić J., Mladinić P., Pavković B, "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006. |
|||
*Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, Zagreb, 2006. |
|||
⚫ | |||
== Izvori == |
|||
{{izvori}} |
|||
{{mrva-mat}} |
|||
⚫ | |||
[[ar:دالة تكعيبية]] |
|||
[[ca:Equació de tercer grau]] |
|||
[[cs:Cardanovy vzorce]] |
|||
[[cy:Ffwythiant ciwbig]] |
|||
[[da:Tredjegradsligning]] |
|||
[[de:Kubische Gleichung]] |
|||
[[en:Cubic function]] |
|||
[[es:Ecuación de tercer grado]] |
|||
[[fi:Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava]] |
|||
[[fr:Équation cubique]] |
|||
[[he:משוואה ממעלה שלישית]] |
|||
[[hi:घन फलन]] |
|||
[[hu:Harmadfokú egyenlet]] |
|||
[[id:Fungsi kubik]] |
|||
[[it:Funzione cubica]] |
|||
[[ja:三次関数]] |
|||
[[km:អនុគមន៍ដឺក្រេទី៣]] |
|||
[[ko:삼차 방정식]] |
|||
[[lo:ຕຳລາຂັ້ນສາມ]] |
|||
[[nl:Derdegraadsvergelijking]] |
|||
[[pl:Równanie sześcienne]] |
|||
[[pt:Equação cúbica]] |
|||
[[ru:Кубическое уравнение]] |
|||
[[sk:Kubická funkcia]] |
|||
[[sv:Tredjegradsekvation]] |
|||
[[ta:முப்படியச் சமன்பாடு]] |
|||
[[th:สมการกำลังสาม]] |
|||
[[uk:Кубічне рівняння]] |
|||
[[vi:Phương trình bậc ba]] |
|||
[[zh:三次方程]] |
Inačica od 27. siječnja 2010. u 16:53
Kubna funkcija u matematici je svaka funkcija oblika: , gdje je a različito od nule.
Karakteristične vrijednosti kubne funkcije
Kubna funkcija kao i svaka druga polinomna funkcija ima neke karakteristične vrijednosti koje u koordinatnom sustavu na grafu funkcije predočavaju, na primjer, nulišta funkcije ili njene ekstreme (slika desno).
Nulišta kubne funkcije
U analizi osobina neke funkcije uobičajeno je najprije naći nulišta funkcije, odn. nultočke grafa funkcije za koje funkcija poprima vrijednost nula. U prikazanom slučaju to vodi rješavanju kubne jednadžbe:
rješenja koje su :
Točke (-4, 0), (-1, 0) i (2, 0 ) predstavljaju zato nultočke grafa kubne funkcije sa slike.
Ukoliko općenito graf funkcije siječe apscisu, odn. x-os koordinatnog sustava, u tri točke tada će nulišta funkcije biti realni brojevi jer su i rješenja kubne jednadžbe realna. No, međutim, ukoliko graf funkcije siječe x-os samo u jednoj točki, tada će kubna jednadžba imati jedno realno rješenje dok će se dva rješenja nalaziti u domeni kompleksnih brojeva i to kao konjugirano-kompleksni par brojeva.
Ekstremi kubne funkcije
Kubna funkcija ima dva ekstrema, jedan minimum i jedan maksimum funkcije. Za funkciju
točke ekstrema funkcije nalazimo diferencirajući gornju jednadkost:
odakle slijedi da je
Ekstrem funkcije postoji za dy/dx=0, gdje na temelju rješenja kvadratne jednadžbe zaključujemo da će kubna funkcija imati ekstreme u točkama
O vrsti ekstrema (maksimum ili minumum funkcije) zaključuje se iz druge derivacije funkcije.
Literatura
- Gusić J., Mladinić P., Pavković B, "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.
- Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, Zagreb, 2006.