Kubna funkcija

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Kubna funkcija u matematici je svaka funkcija oblika

,

gdje je a različito od nule. Pripadna jednadžba je kubna jednadžba. U pravilu, a naročito u nastavi matematike u srednjoj školi, misli se na realnu funkciju realne varijable, što znači da su koeficijenti a, b, c, d realni brojevi, a vrijednosti varijable x realne. Od sada se, ukoliko izrijekom ne bude rečeno drukčije, razmatraju samo takve funkcije [1]

Karakteristične vrijednosti kubne funkcije[uredi VE | uredi]

Kubna funkcija kao i svaka druga polinomna funkcija ima neke karakteristične vrijednosti koje u koordinatnom sustavu na grafu funkcije predočavaju nultočke, ekstreme ili prijevojne točke (slika desno).

Nultočke kubne funkcije[uredi VE | uredi]

Kubna funkcija može imati tri nultočke, dvije nultočke od kojih je jedna dvostruka, jednu trostruku nultočku ili jednu (jednostruku) nultočku. Misli se na realne nultočke, a ako se dopuste i kompleksne, onda u posljednjem slučaju, uz rečenu realnu, postoje još i dvije kompleksno-konjugirane. Dakle, uvijek postoji bar jedna realna nultočka. Geometrijski, nultočke se očitavaju iz grafa funkcije: to su prve koordinate točaka u kojima graf funkcije siječe (odnosno dira) x-os. Tako za funkciju nultočke su redom brojevi -4, -1, 2, što se vidi i iz grafa koji siječe x-os redom u točkama (-4,0), (-1,0), (2,0). Sve se očituje i na rastavu na faktore: . Drugu mogućnost ilustrira funkcija . Tu je 0 jednostruka, a 1 dvostruka nultočka. U koordinatnom sustavu to se očituje tako što graf siječe x-os u točki (0,0),a dodiruje je u točki (1,0) gdje je nultočka dvostruka. Funkcija kubiranja kojoj je 0 trostruka nultočka, najjednostavniji je primjer treće mogućnosti. Konačno, posljednju mogućnost ilustrira funkcija . Vidi se da je 0 jedina (realna) nultočka, dok su -i,i kompleksno-konjugirane.


Ekstremi kubne funkcije i prijevojna točka[uredi VE | uredi]

Kritične točke funkcije jesu one (realne) vrijednosti od x za koje je prva derivacija jednaka nuli [2]. Kako je f'(x)= 3ax2+2bx+c kvadratna funkcija kojoj je diskriminanta , kubna funkcija ima dva lokalna ekstrema ( lokalni minimum i lokalni maksimum) ako je . Ako je pak , onda je funkcija strogo monotona. Tada funkcija ima jednu kritičnu točku ako je , dok za nema ni jednu. Prijevojna točka (točka infleksije) funkcije f (odnosno njenog grafa) je točka tako da je druga derivacija od f u x0 jednaka nuli. Kako je f''(x)=6ax+2b, kubna funkcija ima jedinstvenu prijevojnu točku i to za , koja je ujedno i kritična ako je , inače nije. Graf kubne funkcije uvijek se sastoji od konveksnog i konkavnog dijela, koji se sastaju u prijevojnoj točki. Ako je a pozitivan prvo dolazi konkavni, a ako je negativan, konveksni dio. Za funkciju f prikazanu grafom je dok je . Rješavajući pripadne jednadžbe dobije se da su lokalni ekstremi u , dok je prijevojna točka za u (-1,0), što se može nazrijeti i iz grafa. Iz grafa se nazire i da je u lokalni maksimum, dok je za lokalni minimum. To se može potvrditi i pomoću predznaka druge derivacije.

Primjena kubne funkcije[uredi VE | uredi]

Kubne funkcije, makar jednostavne, obiluju raznim svojstvima: nultočke, lokalni ekstremi, prijevojne točke, sve kombinacije rasta, pada, konveksnosti i konkavnosti. Zato su pogodne za modeliranje promjene neke veličine u vremenu, ili, općenito, veze među dvjema veličinama, naročito pomoću kubnog splinea [3].

Veza s kubnim polinomom[uredi VE | uredi]

Obično se smatra da između kubne funkcije i kubnog polinoma nema nikakve razlike. Strogo matematički gledano, to nije tako. Osim zadavanja pravila prema kojemu djeluje, za funkciju je potrebno naznačiti područje definicije i područje vrijednosti, dok se polinom zadaje koeficijentima i naznačavanjem područja kojemu koeficijenti pripadaju (u pravilu neki komutativni prsten). Ostatci 0, 1, 2 pri dijeljenju s 3 čine polje s obzirom na zbrajanje i množenje modul 3. Izrazima i zadana su dva različita polinoma nad tim poljem (jer su koeficijenti različiti). Također, zadane su i dvije funkcije kojima su i područje definicije i skup vrijednosti to polje. Te su dvije funkcije jednake (sve su im vrijednosti jednake nuli). Dakle različiti polinomi, ali jednake funkcije.

Kubni polinom nad poljem racionalnih brojeva[uredi VE | uredi]

Ako su koeficijenti kubnog polinoma racionalni onda se kaže da je to polinom nad poljem racionalnih brojeva. Općenito, taj se polinom ne može rastaviit na umnožak dvaju polinoma manjeg stupnja s racionalnim koeficijentima, a tek iznimno može. U prvom slučaju polinom nema racionalnih korijena. Tada je njegova Galoisova grupa simetrična grupa ili ciklička grupa trećeg reda [4].


Kompleksna kubna funkcija[uredi VE | uredi]

Ako su u (1) koeficijenti a, b, c, d i vrijednosti varijable x kompleksni brojevi (tada se varijabla obično označava kao z), onda su i vrijednosti funkcije kompleksni brojevi pa je f kompleksna funkcija kompleksne varijable, tj. . Ona je analitička na cijeloj kompleksnoj ravnini (cijela funkcija)[5] [6]. Kompleksna kubna funkcija ima tri različite nultočke, dvije različite (od kojih je jedna dvostruka) ili jednu trostruku nultočku. Računajući kratnosti, svaka kompleksna kubna funkcija ima tri nultočke.

S obzirom na kritične vrijednosti ove se funkcije dijele na dvije skupine,već prema tome koliko njihova derivacija (koja je kvadratna funkcija) ima nultočaka. U prvoj su, općoj, one koje imaju dvije kritične točke, a to su upravo one za koje f' ima dvije različite nultočke. One imaju dvije kritične vrijednosti (jer su vrijednosti kubne funkcije u različitim kritičnim točkama nužno različite). U drugoj su, posebnoj skupini, one koje imaju jednu kritičnu točku, a to su one f kojima derivacija f' ima dvostruku nultočku. One imaju jednu kritičnu vrijednost (vrijednost funkcije u kritičnoj točki). Svaka takva funkcija oblika je joj je kritična točka, a kritična vrijednost. Ona se linearnim transformacijama može svesti na čistu treću potenciju . Opće kubne funkcije, one iz prve skupine, linearnim transformacijama mogu se svesti na jednu izabranu, primjerice na (Čebiševljev polinom prve vrste, trećeg stupnja).

Kritične vrijednosti u ovakvim okolnostima imaju posebno značenje i posebno ime: razgraništa ili točke grananja preslikavanja f (odnosno inverzne funkcije od f kao višeznačne funkcije). Ako se kompleksna varijabla slike označi kao w, onda se ovo preslikavanje može zapisati i kao jednadžba f(z)=w. Ta jednadžba za svaki w koji nije točka grananja ima tri različita rješenja kao jednadžba s nepoznanicom z. Tako je preslikavanje f razgranato natkrivanje kompleksne ravnine stupnja 3. S obzirom na točke grananja, kompleksne kubne funkcije dijele se u dvije skupine, one koje imaju dvije i one koje imaju jednu točku grananja.

Kubna funkcija kao preslikavnje proširene kompleksne ravnine[uredi VE | uredi]

Kubna je funkcija meromorfna funkcija na proširenoj kompleksnoj ravnini [6] ( Riemannovoj sferi) - ima pol trećeg reda u beskonačnosti. Razmatrana kao funkcije s Riemannove sfere na Riemannovu sferu, tako de se definira da je , ona je holomorfna (analitička je i oko beskonačnosti). Drugim riječima, kompleksna kubna funkcija definira razgranato natkrivanje trećeg stupnja s Riemannove sfere na Riemannovu sferu. Beskonačnost () je točka grananja tog natkrivanja koje općenito ima tri, iznimno dvije točke grananja (uključujući rečenu točku grananja u beskonačnosti). Općenito, grupa monodromije izomorfna je simetričnoj grupi , a iznimno, cikličkoj grupi trećeg reda [7].

Izvori[uredi VE | uredi]

  1. Jelena Gusić, Petar Mladinić, Boris Pavković, Matematika 2, za 2. razred za prirodoslovno-matematičke gimnazije, Školska knjiga, Zagreb, 2006.(ISBN 953-0-21345-X)
  2. Sanja Antoliš, Aneta Copić, Matematika 4, udžbenik sa zbirkom zadatataka za 4. razred prirodoslovnih gimnazija, Školska knjiga, Zagreb, 2006. (ISBN 953-0-21349-2)
  3. Doron Levy, Introduction to Numerical Analysis, http://www.math.umd.edu/~dlevy/books/na.pdf
  4. B.L. van der Vaerden, Algebra I, Springer, 2003.(ISBN 0-387-40624-7)
  5. Šime Ungar, Kompleksna analiza,http://web.math.pmf.unizg.hr/~ungar/kompleksna.pdf
  6. 6,0 6,1 Hrvoje Kraljević, Odabrana poglavlja teorije analitičkih funkcija, Riemannove plohe, http://web.math.pmf.unizg.hr/~hrk/nastava/2011-12/an_funk_2011_12.pdf
  7. Rick Miranda, Algebraic Curves and Riemann Surfaces, Graduate Studies in Mathematics, Vol 5, (ISBN 0-8218-0268-2)