Logaritamska nejednadžba

Logaritamska nejednadžba je nejednadžba gdje je nepoznata veličina sadržana unutar logaritma ili čini bazu logaritma.

Područje definicije

Logaritamska nejednadžba je definirana sukladno području unutar kojeg je definirana i logaritamska funkcija. U tom smislu baza logaritma mora biti pozitivan broj veći od nule što također vrijedi i za izraz na koji se logaritam odnosi (u domeni realnih brojeva nije definiran logaritam od negativnog broja).

Jednostavna logaritamska nejednadžba

Jednostavnijom logaritamskom nejednadžbom možemo smatrati logaritamsku nejednadžbu gdje se nepoznata veličina pojavljuje unutar jednog izraza logaritma ili se pojavljuje kao baza logaritma.

Primjer 1

Zadana je logaritamska nejednadžba:

$\log _{3}(x+2)<2\,$

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:

${\begin{aligned}x+2&<3^{2}\\x+2&<9\\x&<7\end{aligned}}$

Rješenje logaritamske nejednadžbe je u smislu definicije logaritma svaki x iz intervala $\left\langle -2,7\right\rangle$.

Primjer 2

Zadana je logaritamska nejednadžba:

$\log _{2}|x-2|>4\,$

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:

$|x-2|>16\,$

Rješavajući nejednadžbu s apsolutnom vrijednosti nalazimo kao rješenje nejednadžbe da x treba biti x>18, ili x<-14, što znači da je rješenje logaritamske nejednadžbe svaki x iz intervala $\left\langle -\infty ,-14\right\rangle$ i $\left\langle 18,+\infty \right\rangle$.

Primjer 3

Zadana je logaritamska nejednadžba:

$-2<\log _{3}(x-1)<2\,$

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:

$3^{-2}<(x-1)<3^{2}\,$

${\frac {1}{9}}<(x-1)<9\,$

${\frac {10}{9}}<x<10\,$

Rješenje logaritamske nejednadžbe bit će svaki x iz interval $\left\langle {\frac {10}{9}},10\right\rangle$.

Složenija logaritamska nejednadžba

Složenije logaritamske nejednadžbe sadrže veći broj članova gdje se nepoznata veličina nalazi unutar logaritma ili kao baza logaritma, a gdje se logaritamska nejednadžba može pojaviti u brojnim oblicima i gdje svaka nejednadžba u rješavanju može tražiti poseban postupak rješavanja.

Primjer 1

Zadana je logaritamska nejednadžba:

$\log(3x^{2}-5x-3)>\log(4x-3)\,$

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:

${\begin{aligned}3x^{2}-5x-3&>4x-3\\3x^{2}-9x&>0/:3\\x^{2}-3x&>0\\x(x-3)&>0\end{aligned}}$

Rješenje nejednadžbe, a time i rješenje logaritamske nejednadžbe je, očito, svaki x iz intervala $\left\langle 3,+\infty \right\rangle$. Drugo rješenje nejednadžbe (x<0) prema definiciji logaritma ne može biti rješenje zadane logaritamske nejednadžbe.

Primjer 2

Zadana je logaritamska nejednadžba:

$\log {\sqrt {x^{2}+2x-3}}>\log x$

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:

${\begin{aligned}\log {\sqrt {x^{2}+2x-3}}-\log x&>0\\\log {\frac {\sqrt {x^{2}+2x-3}}{x}}&>0\\{\frac {\sqrt {x^{2}+2x-3}}{x}}&>1\\{\sqrt {x^{2}+2x-3}}&>x/^{(2)}\\x^{2}+2x-3&>x^{2}\\2x&>3\\x&>{\frac {3}{2}}\end{aligned}}$

Rješenje nejednadžbe, a time i rješenje logaritamske nejednadžbe je svaki x iz intervala $\left\langle {\frac {3}{2}},+\infty \right\rangle$.

Primjer 3

Zadana je logaritamska nejednadžba:

$\log _{9}\log _{2}\log _{3}(x-1)>{\frac {1}{2}}$

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:

${\begin{aligned}\log _{2}\log _{3}(x-1)&>3\\\log _{3}(x-1)&>8\\x-1&>3^{8}\\x-1&>6561\\x&>6562\end{aligned}}$

Rješenje nejednadžbe, a time i rješenje logaritamske nejednadžbe je svaki x iz intervala $\left\langle 6562,+\infty \right\rangle$.

Primjer 4

Zadana je logaritamska nejednadžba:

${\frac {3\log x}{\log x+1}}-\log x>{\frac {-3}{\log x+1}}$

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:

${\begin{aligned}{\frac {3\log x}{\log x+1}}-\log x&>{\frac {-3}{\log x+1}}/\cdot (\log x+1)\\3\log x-\log ^{2}x-\log x&>-3\\-\log ^{2}x+2\log x+3&>0/\cdot (-1)\\\log ^{2}x-2\log x-3&<0\\&=\end{aligned}}$

Rješavajući kvadratnu nejednadžbu po logx, nalazimo da je uvjet nejednadžbe ispunjen za logx<3, odn. za logx>-1, što znači da će rješenje logaritamske nejednadžbe biti svaki x iz intervala $\left\langle {\frac {1}{10}},1.000\right\rangle$.

Literatura

• Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.