Kubna jednadžba: razlika između inačica

Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj

Prikaz u jednom stupcu

Inačica od 19. rujna 2015. u 20:44

Pod kubnom jednadžbom podrazumijeva se jednadžba oblika

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\qquad (1)

gdje je a različit od nule. U nastavi matematike u srednjoj školi obično se smatra da su koeficijenti a,b,c,d realni brojevi^[1]. Općenito, to mogu biti elementi bilo kojeg polja ^[2]

Rješenja kubne jednadžbe

Rješenje kubne jednadžbe, odnosno korijen pripadnog polinoma trećeg stupnja

f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\qquad (2)

jest svaki broj x₀ za kojeg vrijedi $ax_{0}^{3}+bx_{0}^{2}+cx_{0}+d=0.$ Kubna jednadžba općenito ima tri rješenja (brojeći kratnosti): dakle, mogu biti tri različita rješenja, dva rješenja od kojih je jedno dvostruko ili jedno trostruko rješenje. Ako su koeficijenti realni brojevi onda uvijek ima bar jedno realno rješenje, ali može se dogoditi da preostala dva budu kompleksna. Preciznije, mogu biti tri različita realna, dva različita realna od kojih je jedno dvostruko, jedno realno trostruko ili jedno realno i dva kompleksno-konjugirana rješenja, analogno nultočkama kubne funkcije.

Diskriminanta kubne jednadžbe

Često se diskriminantom kubne jednadžbe naziva diskriminanta

\Delta =a^{4}(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}(x_{3}-x_{1})^{2}\qquad (3)

pripadnog polinoma (2), gdje su $x_{1},x_{2},x_{3}$ korijeni polinoma (rješenja jednadžbe (1)). Vrijedi ^[2],

\Delta =-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}+18abcd-27a^{2}d^{2}.\qquad (4),

Ovo vrijedi za sve kubne jednadžbe, a ne samo za one s realnim koeficijentima.

Osobine rješenja jednadžbe

Za kubne jednadžbe s realnim koeficijentima, karakter rješenja ovisi o predznaku diskriminante. Iz (3) slijedi:

ako je Δ < 0, onda jednadžba ima jedan realan i dva kompleksna rješenja
ako je Δ > 0, rješenja su realna i različita
ako je Δ = 0, rješenja su realna i bar dva su međusobno jednaka (dvostruko ili trostruko rješenje).

Tako nešto općenito nema smisla za jednadžbe s kompleksnim koeficijentima.

Općenita rješenja

Općenito rješenje za svaku kubnu jednadžbu

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=\,0

određeno je kako slijedi:

{\begin{aligned}x_{1}=&-{\frac {b}{3a}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{2}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{3}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\end{aligned}}

Izvori

↑ Jelena Gusić, Petar Mladinić, Boris Pavković, Matematika 2, Školska knjiga, Zagreb, 2006.
↑ ^a ^b B.L. van der Vaerden, Algebra I, Springer, 1991.

[1] Jelena Gusić, Petar Mladinić, Boris Pavković, Matematika 2, Školska knjiga, Zagreb, 2006.

[Fon-2] B.L. van der Vaerden, Algebra I, Springer, 1991.

[1]

[2]

@@ Redak 1: / Redak 1: @@
 Pod '''kubnom jednadžbom''' podrazumijeva se jednadžba oblika
-:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \, </math>
+:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \qquad(1) </math>
-gdje je ''a'' različit od nule. U nastavi matematike u srednjoj školi obično se smatra da su koeficijenti ''a,b,c,d'' realni brojevi<ref>Jelena Gusić, Petar Mladinić, Boris Pavković, Matematika 2, Školska knjiga, Zagreb, 2006.</ref>. Općenito, to mogu biti elementi bilo kojeg [[polje|polja]] <ref>B.L. van der Vaerden, Algebra I, Springer, 1991.</ref>
+gdje je ''a'' različit od nule. U nastavi matematike u srednjoj školi obično se smatra da su koeficijenti ''a,b,c,d'' realni brojevi<ref>Jelena Gusić, Petar Mladinić, Boris Pavković, Matematika 2, Školska knjiga, Zagreb, 2006.</ref>. Općenito, to mogu biti elementi bilo kojeg [[polje|polja]] <ref name="Fon">B.L. van der Vaerden, Algebra I, Springer, 1991.</ref>
 == Rješenja kubne jednadžbe ==
 Rješenje kubne [[jednadžba|jednadžbe]], odnosno [[korijen]] pripadnog [[polinom]]a trećeg stupnja
-:<math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0\,</math>
+:<math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \qquad(2)</math>
-jest svaki [[broj]] ''x''<sub>0</sub> za kojeg vrijedi <math> ax_0^3 + bx_0^2 + cx_0 + d = 0. </math> Kubna jednadžba općenito ima tri rješenja (brojeći [[kratnost]]i): dakle, mogu biti tri različita rješenja, dva rješenja od kojih je jedno dvostruko ili jedno trostruko rješenje. Ako su koeficijenti realni brojevi onda uvijek ima bar jedno realno rješenje, ali može se dogoditi da preostala dva budu kompleksna. Preciznije, mogu biti tri različita realna, dva različita realna od kojih je jedno dvostruko, jedno realno trostruko ili jedno realno i dva kompleksno konjugirana rješenja.
+jest svaki [[broj]] ''x''<sub>0</sub> za kojeg vrijedi <math> ax_0^3 + bx_0^2 + cx_0 + d = 0. </math> Kubna jednadžba općenito ima tri rješenja (brojeći [[kratnost]]i): dakle, mogu biti tri različita rješenja, dva rješenja od kojih je jedno dvostruko ili jedno trostruko rješenje. Ako su koeficijenti realni brojevi onda uvijek ima bar jedno realno rješenje, ali može se dogoditi da preostala dva budu kompleksna. Preciznije, mogu biti tri različita realna, dva različita realna od kojih je jedno dvostruko, jedno realno trostruko ili jedno realno i dva kompleksno-konjugirana rješenja, analogno nultočkama [[kubna funkcija|kubne funkcije]].
+=== Diskriminanta kubne jednadžbe===
+Često se [[diskriminanta|diskriminantom]] kubne jednadžbe naziva diskriminanta
+:<math>\Delta=a^4(x_1-x_2)^2(x_2-x_3)^2(x_3-x_1)^2\qquad(3)</math>
+pripadnog polinoma (2), gdje su <math>x_1,x_2,x_3</math> korijeni polinoma (rješenja jednadžbe (1)). Vrijedi
+<ref name="Fon"/>,
+:: <math> \Delta = -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 + 18abcd - 27a^2d^2. \qquad(4),</math>
+Ovo vrijedi za sve kubne jednadžbe, a ne samo za one s realnim koeficijentima.
 === Osobine rješenja jednadžbe===
+Za kubne jednadžbe s realnim koeficijentima, karakter rješenja ovisi o predznaku diskriminante. Iz (3) slijedi:
-Vrsta korijena jednadžbe se određuje po diskriminanti:
+* ako je Δ < 0, onda jednadžba ima jedan realan i dva kompleksna rješenja
-:: <math> \Delta = -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 + 18abcd - 27a^2d^2. \,</math>
-* ako je Δ < 0, onda jednadžba ima jedan realan i dva kompleksna korijena
+* ako je Δ > 0, rješenja su realna i različita
+* ako je Δ = 0,  rješenja su realna i bar dva su međusobno jednaka (dvostruko ili trostruko rješenje).
-* ako je Δ > 0, svi su korijeni realni i različiti
+Tako nešto općenito nema smisla za jednadžbe s kompleksnim koeficijentima.
-* ako je Δ = 0, svi su korijeni realni i bar dva su jednaka .
 === Općenita rješenja ===
 Općenito rješenje za svaku kubnu jednadžbu