Cijeli broj: razlika između inačica

Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj

Prikaz u jednom stupcu

Inačica od 14. prosinca 2017. u 05:37

Skup cijelih brojeva je proširenje skupa prirodnih brojeva sa elementima koji su njima suprotni i sa neutralnim elementom pri zbrajanju: nule.

Skup prirodnih brojeva $\mathbb {N}$ ne čini grupu s obzirom na operaciju zbrajanja, jer za element $n\in \mathbb {N}$ ne postoji njemu inverzan element $n^{-1}\in \mathbb {N}$ . Da bismo odredili svaku razliku $a-b$ gdje su $a,b\in \mathbb {N}$ koju definiramo sa $a+(-b)$ , gdje je sa $-b$ označen inverzni element od $b\in \mathbb {N}$ , proširujemo skup $\mathbb {N}$ sa takvim inverzima prirodnih brojeva i dodajemo poseban element 0, koji s obzirom na operaciju zbrajanja čini jedinični element takve konstruirane grupe. U tom smislu i u matematičkoj notaciji skup cijelih brojeva $\mathbb {Z}$ je upravo takva aditivna grupa:

$\mathbb {Z} =\{...,-2,-1\}\cup \{0\}\cup \mathbb {N} =\{0,-1,1,-2,2,...\}$

Kažemo da je skup cijelih brojeva unija negativnih cijelih brojeva, neutralnog elementa za zbrajanje i prirodnih brojeva. Prema tome, skup prirodnih brojeva je pravi podskup skupa cijelih brojeva, što se piše kao $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z}$ .

Element 0 sa svojstvom da je $a+0=0+a=a,\forall a\in \mathbb {Z}$ nazivamo nulom, a inverze prirodnih brojeva u konstruiranoj grupi nazivamo suprotnim elementima prirodnih brojeva ili negativnim cijelim brojevima. Vrijedi $a+(-a)=(-a)+a=0,\forall a\in \mathbb {Z}$ , pošto je i asocijativnost zadovoljena kažemo da je skup cijelih brojeva aditivna grupa.

No, skup cijelih brojeva $\mathbb {Z}$ čini također i komutativni prsten zajedno sa operacijama zbrajanja i množenja, a nula u prstenu ima svojstvo da $0\cdot x=a$ nema rješenje u samom, i niti jednom, prstenu. Skup cijelih brojeva je, kao i skup prirodnih brojeva, uređen skup. Nema najvećeg (maksimalnog) niti najmanjeg (minimalnog) elementa i ekvipotentan je skupu prirodnih brojeva (tj. postoji bijekcija sa $\mathbb {N}$ u $\mathbb {Z}$ ).

Literatura

Jasenka Đurović, Ivo Đurović, Sanja Rukavina: Matematika 1 (udžbenik za I. razred gimnazije), Element, Zagreb, 1996. (str. 3)
Svetozar Kurepa: Konačno dimenzionalni vektorski prostori i primjene, Tehnička knjiga, Zagreb, 1967. (str. 16-18)

@@ Redak 1: / Redak 1: @@
 Skup cijelih brojeva je proširenje skupa [[Prirodni broj|prirodnih brojeva]] sa elementima koji su njima suprotni i sa neutralnim elementom pri zbrajanju: nule.
-Skup [[Prirodni broj|prirodnih brojeva]] <math>\mathbb{N}</math> ne čini grupu s obzirom na operaciju zbrajanja, jer za element <math>n \in \mathbb{N}</math> ne postoji njemu inverzan element <math>n^{-1} \in \mathbb{N}</math>. Da bismo odredili svaku razliku <math>a - b</math> gdje su <math>a,b \in \mathbb{N}</math> koju definiramo sa <math>a + (-b)</math>, gdje je sa <math>-b</math> označen inverzni element od <math>b \in \mathbb{N}</math>, proširujemo skup <math>\mathbb{N}</math> sa takvim inverzima [[Prirodni broj|prirodnih brojeva]] i dodajemo poseban element 0, koji s obzirom na operaciju zbrajanja čini jedinični element takve konstruirane grupe. U tom smislu i u matematičkoj notaciji skup '''cijelih brojeva''' <math>\mathbb{Z}</math> je upravo takva aditivna grupa:
+Skup [[Prirodni broj|prirodnih brojeva]] <math>\mathbb{N}</math> ne čini [[Grupa (matematika)|grupu]] s obzirom na operaciju zbrajanja, jer za element <math>n \in \mathbb{N}</math> ne postoji njemu inverzan element <math>n^{-1} \in \mathbb{N}</math>. Da bismo odredili svaku razliku <math>a - b</math> gdje su <math>a,b \in \mathbb{N}</math> koju definiramo sa <math>a + (-b)</math>, gdje je sa <math>-b</math> označen inverzni element od <math>b \in \mathbb{N}</math>, proširujemo skup <math>\mathbb{N}</math> sa takvim inverzima [[Prirodni broj|prirodnih brojeva]] i dodajemo poseban element 0, koji s obzirom na operaciju zbrajanja čini jedinični element takve konstruirane grupe. U tom smislu i u matematičkoj notaciji skup '''cijelih brojeva''' <math>\mathbb{Z}</math> je upravo takva aditivna grupa:
 <math>\mathbb{Z} = \{ ..., -2, -1 \} \cup \{0\} \cup \mathbb{N} = \{0, -1, 1, -2, 2, ... \}</math>