Niz: razlika između inačica
m →Primjeri: obrisao englesku riječ |
Nema sažetka uređivanja |
||
Redak 41: | Redak 41: | ||
Posebno su važni [[aritmetički niz]] i [[geometrijski niz]]. |
Posebno su važni [[aritmetički niz]] i [[geometrijski niz]]. |
||
== Konvergentni nizovi realnih brojeva == |
|||
Niz <math>a_n</math> realnih brojeva konvergira realnom broju <math>a_0</math>, ako za svako <math>\epsilon > 0</math> postoji prirodni broj <math>n_0</math> takav da<ref name="SK">Kurepa, Svetozar, ''Matematička analiza 2 : funkcije jedne varijable'', Tehnička knjiga, Zagreb, 1971.</ref>{{is|str. 67.}} |
|||
: <math> (n > n_0) \implies (|a_n - a_0| < \epsilon)</math> |
|||
Broj <math>a_0</math> se naziva [[Limes (matematika)|limes]] niza <math>a_n</math>. Kao primjer niz |
|||
: <math>a_n = \frac{1}{n}</math> |
|||
konvergira i limes niza je 0. Rastući i padajući nizovi se nazivaju monotonim nizovima. U matematičkoj analizi osnovni rezultat o nizovima je: svaki ograničen i monoton niz realnih brojeva je konvergentan.<ref name="SK"></ref>{{is|str. 69.}} |
|||
== Izvori == |
|||
{{Izvori}} |
|||
[[Kategorija:Matematika]] |
[[Kategorija:Matematika]] |
Inačica od 24. kolovoza 2020. u 09:55
Općenito, niz možemo zamisliti kao objekte poredane po nekom pravilu, tako da uvijek znamo tko je prethodnik i sljedbenik svakog objekta u redu (osim eventualno prvog i zadnjeg).
Uzmimo za primjer razred od dvadeset učenika koji su poredani po abecednom redu. Za svakog od učenika znamo tko je "prije" njega (osim kod prvog), a tko "poslije" (osim kod zadnjeg). To možemo zamisliti kao da smo svakom od brojeva iz skupa pridružili po jednog učenika.
Sličan primjer su dani u tjednu (brojevima od 1 do 7 pridruženi su prvi dan, drugi dan,...).
Matematička definicija niza
Takvi primjeri motiviraju matematičku definiciju niza: funkciju zovemo niz u skupu S.
Dakle, niz je funkcija kojoj je domena skup prirodnih brojeva, a kodomena neki skup S. U prvom našem primjeru, skup S bi mogao biti {"Učenici razreda"}, a u drugom {"Dani u tjednu"}.
Niz se, umjesto uobičajene notacije , označava sa ili samo ili .
Primjeri
Članovi niza zadanog sa izgledaju ovako:
Primjećujemo da je brojnik uvijek jedan, a nazivnik su prirodni brojevi. Broju jedan je pridružen 1, broju dva 1/2, broju tri 1/3, i tako dalje. Zato kažemo da je npr. 1/16 šesnaesti član niza. Oznaka trotočje označava da je niz beskonačan.
Sama funkcija može biti definirana sa više od jednog pravila. Primjer za takvu funkciju je:
Ova funkcija također zadovoljava uvjete za niz jer joj je domena skup (kodomena je skup ).
Članovi ovog niza izgledaju ovako:
Važni nizovi
Posebno su važni aritmetički niz i geometrijski niz.
Konvergentni nizovi realnih brojeva
Niz realnih brojeva konvergira realnom broju , ako za svako postoji prirodni broj takav da[1]:str. 67.
Broj se naziva limes niza . Kao primjer niz
konvergira i limes niza je 0. Rastući i padajući nizovi se nazivaju monotonim nizovima. U matematičkoj analizi osnovni rezultat o nizovima je: svaki ograničen i monoton niz realnih brojeva je konvergentan.[1]:str. 69.