Kompleksni broj

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Kompleksni brojevi su izrazi oblika a + bi, gdje su a i b realni brojevi, a i imaginarna jedinica.

Zbrajanje, množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva definira se formulama:

(a_1+b_1i)+(a_2+b_2i)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i
(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i
 \frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i} = \frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2 +b_2^2} + \frac{a_2b_1-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2} \cdot i

U kompleksnom broju z=a+bi broj a se naziva realni dio, piše se a = Re(z), a broj b je imaginarni dio, i piše se b = Im(z).

Kompleksan broj čiji je realni dio jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.

Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz i jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi u rješavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primjer, problema o prolazu struje kroz vodič, o profilu krila aviona itd.

Ništa manje važna nije primjena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primjer, za određivanje korijena kubne jednadžbe potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Povijesno, kompleksni su brojevi uvedeni radi rješavanja kvadratne jednadžbe. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povoda za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Leibnitz). Velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Euleru. Kompleksni broj se aksiomatski definira kao uređen par realnih brojeva (a,b). Formule zbrajanja, množenja, dijeljenja se postuliraju ovako:

(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)\,,
(a,b) \cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx),
 \frac{(a,b)}{(x,y)} = ( \frac{ax+by}{x^2+y^2}, \frac{bx-ay}{x^2+y^2}).

Par (0;1) se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom i. Iz potonjih formula slijedi da je i^2=-1. Operacije nad kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije nad kompleksnim brojevima pod radikalima (korijenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je

-1=i^2= \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \not= \sqrt{(-1)(-1)}=1.

Trigonometrijski oblik[uredi VE | uredi]

Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:

a+bi= \rho (\cos \phi +i \sin \phi )\,,

 \rho = \sqrt{a^2+b^2}, \ \phi = \arctan \frac{b}{a}, za a>0 i  \phi = \pi + \arctan \frac{b}{a} za a<0; kada je a=0 onda je  \phi = \frac{ \pi}{2}, ako je b>0 i  \phi =- \frac{ \pi}{2}, ako je b<0. Broj  \rho se naziva modul kompleksnog broja, a  \phi je argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je vrlo pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se zbrajaju. Iz ovog pravila proizlazi [[De Moivre|De Moivreova formula:

( \cos \phi +i \sin \phi )^n= \cos n \phi +i \sin n \phi\, .

Kompleksni se brojevi često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravnini (slika dolje). Geometrijski smisao brojeva a,b, \rho,\phi vidi se na crtežu. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se zbrajaju po pravilu paralelograma.

Kompleksna-ravan.gif

Duljina vektora \rho je modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorinog poučka. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sustava: |z|=\rho = \sqrt{a^2+b^2}.

Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Vrijedi sljedeća Eulerova formula:

e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi \,;

preko nje se definira stupnjevanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.

Kompleksni brojevi oblikuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa i, takvog da je i^2=-1.