Logaritam

Logaritamska funkcija po tri baze, crveno po bazi 10, zeleno po bazi e, plavo po bazi 2

Logaritam nekog pozitivnog realnog broja x u nekoj bazi b je broj y kojim se treba potencirati bazu da bi dobili zadanu vrijednost x.

Što pišemo na slijedeći način:

$\text{ ako je }x = b^y,\text{ onda je }y = \log_b (x)\,.$

Primjeri logaritama brojeva po bazi 10:

$\log_{10} (10) = log_{10} (10^1) = 1\,.$

$\log_{10} (100) = log_{10} (10^2) = 2\,.$

$\log_{10} (1.000) = log_{10} (10^3) = 3\,.$

$\log_{10} (10.000) = log_{10} (10^4) = 4\,.$

Negativni logaritam se piše kao n = −logb x; primjer njegove upotrebe je u kemiji gdje predstavlja koncentraciju protona (pH).

Antilogaritam se koristi da označi funkciju inverznu logaritmu (eksponencijalna funkcija, odnosno stupnjevanje). Piše se kao antilogb(n) i znači isto što i bn.

Dvostruki logaritam je inverzna funkcija dvostruke eksponencijalne funkcije. Super logaritam ili hiper logaritam je inverzna funkcija super eksponencijalne funkcije. Super logaritam za x raste sporije i od dvostrukog logaritma za veliko x.

Diskretni logaritam se pominje u teoriji konačnih grupa. Vjeruje se da je za neke konačne grupe diskretni logaritam vrlo teško izračunati, dok je diskretne eksponencijale veoma lako izračunati. Ova asimetrija ima primjene u kriptografiji.

Povijest

Jost Birgi, švicarski proizvođač satova je prvi primijetio logaritme. Metod prirodnog logaritma je prvi predložio 1614 John Napier u svojoj knjizi Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Ovaj metod je doprinjeo u napretku nauke, a posebno astronomije čineći neke teške računice mogućim. Sve do upotrebe računara u nauci, ovaj metod je korišten u svim granama praktične matematike. Pored svoje upotrebe u računima, logaritmi su popunili važno mijesto u višoj, teoretskoj matematici.

U početku, Napier je logaritme zvao "umjetnim brojevima", a antilogaritme "prirodnim brojevima". Kasnije, Napier je stvorio riječ logaritam, zvučnu kovanicu koja je trebala označiti odnos: λoγoς (logos) i αριθμoς (arithmos) što predstavlja broj. Termin antilogaritam je uveden pred kraj 17. stoljeća i iako se nikada nije pretjerano koristio u matematici, postojao je u tablicama dok nije izašao iz upotrebe.

Logaritamske operacije

$\log_b(x*y) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\,$

$\log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$

$\log_b(x^y) = y \log_b(x) \!\,$

$\log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{\log_b(x)}{y}\end{matrix}$

Ukidanje eksponenta

$b^{\log_b(x)} = x$

$\log_b(b^x) = x \!\,$

Promjena osnove

$\log_a b = {\log_c b \over \log_c a}$

Prirodni logaritam

Logaritam po bazi e (Eulerov broj) zovemo prirodnim logaritmom i pišemo kao ln umjesto log.

$\ln (e^3) = 3\,.$

Izvori

Nedovršeni članak Logaritam koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.