Linearna nezavisnost

Linearna nezavisnost vektora temeljni je pojam u linearnoj algebri, a odnosi se na skupove vektora čijim se linearnim kombinacijama svi vektori u vektorskom prostoru ili nekom njegovom potprostoru mogu prikazati na jedinstven način. Skup vektora je linearno nezavisan ako je jedina linearna kombinacija tih vektora koja daje nulvektor ona u kojoj su svi koeficijenti jednaki nuli. Formalno, konačan skup vektora $S=\{v_{1},v_{2},...,v_{s}\}$ koji je podskup vektorskog prostora $V$ nad poljem $\mathbb {F}$ linearno je nezavisan ako iz

$$\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+...+\alpha _{s}v_{s}=\mathrm {O}$$

slijedi

$$\alpha _{1}=\alpha _{2}=\ldots =\alpha _{s}=0$$

Ovdje su $\alpha$ koeficijenti iz $\mathbb {F}$, a $\mathrm {O}$ nulvektor u $V$. Beskonačan skup je linearno nezavisan ako je takav svaki njegov konačan podskup.

Skup vektora koji nije linearno nezavisan je linearno zavisan skup, a u njemu se nulvektor može dobiti linearnom kombinacijom vektora u kojoj barem jedan koeficijent nije 0. Skup vektora je linearno zavisan ako i samo ako u njemu postoji vektor koji je linearna kombinacija preostalih vektora skupa.

Baza vektorskog prostora

Pojam u linearnoj algebri koji je usko vezan uz linearnu nezavisnost vektora svakako je baza vektorskog prostora. Naime, neki vektori su linearne kombinacije drugih vektora pa će imati smisla izdvojiti one koji linearnim kombinacijama tvore druge vektore, a sami nisu tako prikazivi, osim na trivijalan način (skaliranjem). Skup takvih linearno nezavisnih vektora koji čine vektorski prostor zvat ćemo dakle bazom vektorskog prostora.

Konačnodimenzionalni slučaj

Neka je $B=\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}$ baza vektorskog prostora $V$. Tada je svaki $v_{i}$ linearno nezavisan od preostalih $v_{j},i\neq j$.

Zato se i skup $\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}$ naziva bazom jer je linearnom kombinacijom vektora $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ moguće dobiti svaki vektor iz vektorskog prostora $V$.

Steinitzov teorem

Svake dvije baze netrivijalnog konačnogeneriranog vektorskog prostora $V$ su jednakobrojne ili ekvipotentne. (Kažemo da je vektorski prostor $V$ netrivijalan ako i samo ako vrijedi $V\neq \{0\}$.)

Dokaz. Netrivijalni konačnogenerirani vektorski prostor $V$ ima bazu. Neka su sada $B_{1},B_{2}$ bilo koje dvije baze prostora $V$. Označimo $B_{1}=n_{1},{\text{card}}B_{2}=n_{2}$ (${\text{card}}B$ je kardinalni broj skupa $B$, dakle broj elemenata tog skupa).

Kako je $B_{1}$ linearno nezavisan skup, a $B_{2}$ je sustav izvodnica, slijedi $n_{1}\leq n_{2}$. Obrnuto, kako je $B_{2}$ linearno nezavisan skup, a $B_{1}$ je sustav izvodnica, vrijedi $n_{2}\leq n_{1}$. Očito mora biti $n_{1}=n_{2}$ pa su dvije baze zaista jednakobrojne.

Primjeri

Jedan od zornih geometrijskih primjera vektorskog prostora je svakako skup usmjerenih dužina u realnoj ravnini, $\mathbb {R} ^{2}$ sa svojim pravilima za zbrajanje vektora i množenjem skalarima. Nije teško geometrijski pokazati da je taj skup zaista jedan vektorski prostor.

Znajući pravilo za zbrajanje vektora i poznavajući elementarnu geometriju, lako je zaključiti da bazu $\mathbb {R} ^{2}$ čine točno dva nekolinearna vektora, neka su to $i,j$. Tada su $i,j$ linearno nezavisni. Naime, svaku drugu usmjerenu dužinu u $\mathbb {R} ^{2}$ moguće je dobiti linearnom kombinacijom baznih vektora $i,j$.

Kartezijev koordinatni sustav

Geometrijski, odabirom vektora $i,j$ mijenjamo oblik koordinatnog sustava. No, tom transformacijom sve dužine (i pravci) koje su bile paralelne su i ostale paralelne te je ishodište ostalo na svome mjestu (jer je $\alpha _{1}i+\alpha _{2}j=0$ povlači $\alpha _{1}=\alpha _{2}=0$).

Takav izmijenjeni Kartezijev koordinatni sustav često se naziva kosokutni koordinatni sustav, jer vektori $i,j$ ne moraju činiti pravi kut.