Aksiom matematičke indukcije

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje

Aksiom matematičke indukcije je aksiom o matematičkoj (potpunoj, totalnoj) indukciji. Omogućava da iz izvjesnih svojstava podskupa zaključimo odnos dvaju skupova. Ovim aksiomom se mogućava i sredstvo je za prouučavati beskonačne skupove, za dokazivati poučke i za definiciju funkcija.

Aksiom glasi:

Neka je skup M podskup skupa prirodnih brojeva N.

Pretpostavimo dva svojstva skupa M:

  1. 1
  2.   

Slijedi zaključak:

Primjeri[uredi VE | uredi]

Možda najosnovniji primjer za metodu matematičke indukcije je suma konačno mnogo uzastopnih prirodnih brojeva. Želimo li dokazati tvrdnju, odnosno formulu možemo postupiti ovako:

Dokazujemo da tvrdnja vrijedi za prvi broj u navedenom skupu, a to je "cijeli" skup , dakle u ovom slučaju za broj 1: Time smo dokazali bazu indukcije.

Sada pretpostavljamo da tvrdnja vrijedi barem za jedan broj različit od 1 iz našeg skupa, neka je to m-ti broj iz skupa Prema tome, pretpostavljamo da vrijedi (*) Ovo se zove pretpostavka indukcije.

Nadodajmo na obje strane jednakosti. Vidimo da tada tvrdnja tada vrijedi i za sljedeći broj, Dakle, pretpostavljamo da je Sada slijedi ključan korak u ovoj metodi. Prema prvoj pretpostavi lijevu stranu jednakosti (*) možemo napisati kao: što daje Time smo dokazali da ako tvrdnja vrijedi za onda nužno vrijedi i za Ovaj se dio naziva korakom indukcije.

Pokazali smo da tvrdnja vrijedi za 1. No, onda vrijedi i za 2, onda i za 3, itd. Time smo dokazali da tvrdnja vrijedi

Sada je jasan aksiom matematičke indukcije.

Izvori[uredi VE | uredi]

  1. Kurepa, Svetozar. Matematička analiza 1. Diferenciranje i integriranje. Zagreb: Školska knjiga, 1997.; str. 17-18