Faktorijel

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje
Prvih 15 faktorijela
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5 040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
11 39 916 800
12 479 001 600
13 6 227 020 800
14 87 178 291 200
15 1 307 674 368 000

U matematici, faktorijel ili faktorijela prirodnog broja n je umnožak svih prirodnih brojeva manjih ili jednakih n.

Faktorijeli se koriste u kombinatorici, algebri te matematičkoj analizi.

Notaciju n! uveo je Christian Kramp 1808.

Definicija[uredi | uredi kôd]

Definicija faktorijela za prirodne brojeve:

Dodatno je definirano:

.

Primjeri[uredi | uredi kôd]

Osnovna svojstva[uredi | uredi kôd]

Za faktorijele vrijedi rekurzivna relacija:

.


Faktorijeli brojeva većih od 1 su uvijek parni brojevi jer svaki broj pomnožen brojem 2, tj. bilo kojim parnim brojem, je paran broj.

Približno računanje faktorijela[uredi | uredi kôd]

Faktorijel relativno brzo raste što može predstavljati praktično ograničenje kod njegovog računanja. Na primjer, faktorijel broja 70 prelazi sto znamenki. Stoga je korisno za velike n koristiti takozvanu Stirlingovu formulu za približno izračunavanje faktorijela:

Viši faktorijeli[uredi | uredi kôd]

Viši faktorijeli se označavaju ponavljanjem znaka '!', gdje broj ponavljanja označava redni broj višeg faktorijela.

gdje je m redni broj višeg faktorijela.

Dvostruki faktorijel n!![uredi | uredi kôd]

Izraz označava dvostruki faktorijel i odnosi se na faktorijel parnih i neparnih brojeva.

Definiraju se na ovaj način:

Primjerice:

ili pak

  • .

Primorijel[uredi | uredi kôd]

Ako imamo prirodni broj tada je umnožak prostih brojeva koji ne premašuju . Izraz znači n primorijela.

Preciznije,

Primijetimo da ćemo se, ako je složen, pri računanju spuštati dok ne dođemo do prvog prostog broja. Zatim ćemo taj prosti broj zapisati u umnošku i opet se dalje spuštati do prvog manjeg prostog broja, pa zatim množimo onaj veći prosti broj s idućim manjim, i opet se spuštamo, itd. Time ćemo u konačnici zaista dobiti umnožak prostih brojeva manjih od .

Evo kako bi tekao račun za .

Dakle, i sada računamo i tako dalje sve do . Kako je po definiciji slijedi .

Vidi još[uredi | uredi kôd]