Binomni koeficijent

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje
Binomni koeficijenti se mogu organizirati u obliku Pascalova trokuta

U matematici, binomni koeficijent je pozitivni cijeli broj, koji se pojavljuje kao koeficijent binomnog poučka. Indeksira se dvama ne-negativnim cijelim brojevima; binomni koeficijent s indeksima n i k obično se zapisuje kao: 

i čita se n iznad ili povrh k. To je koeficijent člana  polinomne ekspanzije binomne potencije oblika . Pod odgovarajućim okolnostima vrijednost koeficijenta definirana je izrazom:

Organizacija binomnih koeficijenata u redove uzastopnih vrijednosti n, u kojem k ima vrijednosti od 0 do n, daje Pascalov trokut.

Binomni koeficijenti su važan dio mnogih područja matematike, posebno u području kombinatorike.

Vizualizacija binomnog proširenja do četvrte potencije

Neka svojstva binomnih koeficijenata i dokazi[uredi VE | uredi]

Svojstvo simetrije:[1]:18

Kombinatorni dokaz.

Oznaka predstavlja broj -članih podskupova -članog skupa, uz napomenu da, prema definiciji skupa, nikoja dva elementa nekog skupa nisu jednaka. Kako za svaki podskup od elemenata postoji točno jedan poskup od preostalih elemenata slijedi da vrijedi bijekcija između ova dva skupa odnosno da su oni ekvipotentni ili jednakobrojni.


Osnovna relacija iz Pascalovog trokuta[1]:20 ili tzv. Pascalovo pravilo:

Kombinatorni Dokaz.

Neka tražimo broj -članih skupova od prvih prirodnih brojeva ().

Neka je skup svih takvih -članih podskupova -članog skupa. Vrijedi .

Izaberimo neki element iz . Neka je skup podskupova iz koji sadrže . Njih ima jer preostalih brojeva iz (ne možemo opet birati jer je očito već sadržan u tim podskupovima) raspoređujemo na preostalih mjesto. Neka je pak s druge strane skup podskupova iz koji ne sadrže . Ima ih jer sada raspoređujemo sve elemente iz osim elementa , njih , na svih mjesta jer na nijednom mjestu nije element

Očito je , čime je tvrdnja dokazana.

Binomni koeficijent u matematičkoj analizi[uredi VE | uredi]

Za proizvoljan realni broj binomni koeficijent se definira formulama:[2]

gdje je u nazivniku razlomka funkcija faktorijel.

Dano proširenje binomnog koeficijenta na realne brojeve nam omogućuje da npr. izračunamo izraze poput ili, između ostalog, da se razvije u red za .

Izvori[uredi VE | uredi]

  1. 1,0 1,1 Neven Elezović: Matematika 4 (udžbenik za IV. razred gimnazije), Element, Zagreb, 2000.
  2. Svetozar Kurepa: Matematička analiza 2 funkcije jedne varijable, Tehnička knjiga, Zagreb, 1971. (str. 108-110)


P math.png Nedovršeni članak Binomni koeficijent koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.