Kartezijev umnožak

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje
Kartezijev umnožak skupova i

Kartezijev umnožak (Kartezijev produkt) je umnožak iz teorije skupova koji nosi ime prema latiniziranom imenu Renéa Descartesa Cartesius. [1]

Kod dvaju skupova skup svih uređenih parova čiji je prvi element iz prvoga skupa, a drugi iz drugoga skupa.[2] Ako je više tj. n skupova u umnošku, onda imamo n-struki umnožak od uređenih n-torki (a, b, ... n).

Kartezijev umnožak dvaju skupova A i B jest skup A × B, koji se sastoji od svih uređenih parova (a, b), za koje vrijedi da je a ∈ A, b ∈ B. Uređeni par je dvočlani skup, u kojem je zadano koji se od dvaju elemenata smatra prvim, a koji drugim.[1]

Kad imamo konačne skupove A i B, za koje vrijedi da A ima n elemenata, B m elemenata, u skupu A × B broj elemenata je jednak je umnošku n · m.[1]

Ako imamo više skupova, primjerice A, B i C, Kartezijev umnožak tih triju skupova je skup A × B × C svih uređenih trojki (a, b, c), pri čemu je a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C.[1]

Osobine[uredi VE | uredi]

Za Kartezijev umnožak vrijedi da je multiplikativna operacija, zbog čega je prioritetniji od aditivnih operacija kao što su presjek skupova i unija skupova. [3] Znači kad bismo postavili

A ∪

množilo bi se kao

A ∪ ()[3]

Kartezijev umnožak nije komutativan. Dokazivo je protuprimjerom za rušenje tvrdnje o komutativnosti, zato što je komutativnost univerzalna tvrdnja.[3]

Kartezijev umnožak je distributivan prema uniji. Dokazivo je preko dokazivanja jednakosti dvaju skupova, tako što dokažemo jedan podskup, a zatim i nadskup drugoga i to u oba smjera.[3]

Kartezijev umnožak je distributivna operacija prema presjeku, razlici i simetričnoj razlici skupova.[3]

Vidi[uredi VE | uredi]

Izvori[uredi VE | uredi]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Hrvatska enciklopedija Kartezijev produkt, Zagreb: LZMK (pristupljeno 24. srpnja 2019.)
  2. Projekt Hrvatsko nazivlje u matematici, Kartezijev umnožak dvaju skupova. Struna ID: 30258. Obrađivač: Željka Milin-Šipuš (pristupljeno 24. srpnja 2019.)
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 Prirodoslovno-matematički fakultet u Zagrebu Vedran Čačić: Veky's MathLand -- Vježbe EM1: Uređeni parovi i Kartezijev produkt (pristupljeno 24. srpnja 2019.)