Kroneckerov simbol

U matematici, Kroneckerov simbol ili Kroneckerov delta simbol je po dijelovima zadana realna funkcija dvije realne varijable:

$$\delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{ako }}i\neq j,\\1&{\text{ako }}i=j.\end{cases}}$$

Na primjer, $\delta _{12}=0$ jer $1\neq 2$, dok je primjerice $\delta _{22}=1$ jer je $2=2$.

Ova i slične funkcije rabe se u svim temeljnim područjima matematike, posebice u linearnoj algebri, fizici i inženjerstvu.

Funkcija nosi ime po njemačkom matematičaru Leopoldu Kroneckeru (1823. – 1891.).

Neke primjene

Jedinična matrica

Lako se vidi da se koeficijenti kvadratne jedinične matrice ${\text{I}}$ reda $n$ upravo mogu zadati preko Kroneckerovog simbola: $I_{ij}=\delta _{ij}$ kad $i,j$ prolaze skupom $\{1,2,\cdots ,n\}$.

Skalarni produkt

Skalarni produkt može se kompaktno zapisati i rabeći Kroneckerov delta simbol:

$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.$$

Ovdje su vektori $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ definirani jednostavno kao uređene n-torke: $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ i $\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},...,b_{n})$.

Ortonormirana baza

Neka je $U$ unitaran prostor i $S=\{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{k}\}\subset U$ linearno nezavisan skup. Tada kažemo da je $S$ ortonormirana baza od $U$ ako je $s(a_{i},a_{j})=\delta _{ij}$.

Za $i=j=k\in \mathbb {N}$ imamo $s(a_{i},a_{i})=1$ što povlači $||a_{k}||=1$.

Dakle, vektori skupa $S$ ne samo da su ortogonalni, nego su i normirani, odnosno jedinične duljine, a otuda i dolazi naziv za jedinični vektor – "ort".

Domena

Tradicionalno, domena ove funkcije restringirana je na nenegativne cijele brojeve, no ona se može definirati za proizvoljan skup.