Graf funkcije
U matematici, graf funkcije f je skup svih uređenih parova (x, f(x)). Ako je ulazna funkcija x skalarna, njezin graf (krivulja) ima dvije dimenzije. Ako je zavisna varijabla x uređeni par (x1, x2) realnih brojeva, graf (površina) je skup svih uređenih trojki (x1, x2, f(x1, x2)).
U znanosti, inženjerstvu, tehnologiji, financijama i drugim područjima, grafovi se koriste za različite svrhe. U najjednostavnijem slučaju jedna se varijabla grafički prikazuje kao funkcija druge varijable, obično pomoću pravokutnih osi.
U poljima moderne matematike, poput teorije skupova, funkcija i njezin graf označavaju isti koncept.[1]
Ovisno o najvećoj potenciji nepoznanice, postoji više vrsta grafova:
Funkciju zadanu formulom , zovemo linearna funkcija, a graf joj iskazujemo pravcem. Varijabla l označava sjecište grafa s y-osi, dok varijabla k izražava nagib pravca. Nagib k može se izračunati kao ili kao tangens kuta pravca nad x-osi. Derivacija linearne funkcije iskazana je njenim nagibom.
Ako pak funkcija ima oblik , zovemo ju kvadratna funkcija. Ako je funkcija oblika , odnosno jednostavnije, , tad se naziva bikvadratna funkcija. Funkcije ovog oblika su parabole, čija realna rješenja (nultočke[a]) x1 i x2 nakon izjednačavanja s nulom daju odsječke grafa na x-osi, sukladno formuli . Tjeme kvadratne funkcije možemo dobiti općom formulom , ili jednostavnije , gdje su a, b i c koeficijenti kvadratne funkcije. Ako je varijabla a pozitivna, funkcija prvo pada pa raste, a ako je negativna događa se obrnuto. S obzirom na to da je najveća potencija funkcije parna (2), funkcija počinje i završava na istoj "strani" grafa. Derivacija kvadratne funkcije je pravac 2ax+b.
Diskriminanta je vrijednost opisana formulom , gdje su a, b i c koeficijenti kvadratne jednadžbe, koja nam govori koliko rješenja ima određena kvadratna jednadžba. Ako je vrijednost diskriminante veća od nule, funkcija tad dodiruje x-os u barem dvije točke, a njezina jednadžba ima dva realna rješenja. Ako je D=0, tjeme funkcije leži na x-osi (dodiruje x-os u jednoj točki), a njezina jednadžba ima jedno realno i jedno kompleksno rješenje. Ako je diskriminanta manja od nule, funkcija ne dodiruje x-os, i ima dva kompleksna rješenja.
Funkcija oblika naziva se polinom n-tog reda/stupnja. Svaki se takav polinom može napisati u obliku produkta: , gdje su x1, x2, ... xn sva rješenja jednadžbe f(x)=0. Racionalna funkcija zadana je formulom , gdje su g i h polinomi (h ne smije biti nula).
Eksplicitna jednadžba funkcije ima oblik , gdje je a nagib pravca, dok je b odsječak pravca na y-osi.
Implicitna jednadžba funkcije ima oblik Ax+By+C = 0 i opisuje implicitnu funkciju, koja u odnos stavlja nezavisnu varijablu x i ovisnu (implicitnu) varijablu y. Primjerice, jednadžba jedinične kružnice definira y kao implicitnu funkciju varijable x ako je , a y je ograničen na ne-negativne vrijednosti.
Inverzne funkcije se često zapisuju u implicitnom obliku jer nije moguće sve inverzne funkcije napisati eksplicitno.
Algebarske funkcije su funkcije koje zadovoljavaju polinomnu jednadžbu čiji su koeficijenti također polinomi. Često se zbog lakoće i kratkoće zapisa iste zapisuju u implicitnom obliku. Gornja jednadžba jedinične kružnice je algebarska jednadžba. Ona se može eksplicitno zapisati kao , što vrijedi i za sve jednadžbe drugog, trećeg i četvrtog stupnja, no ne uvijek i za jednadžbe petog i viših stupnjeva. Primjerice, jednadžbu petog stupnja nije moguće zapisati u eksplicitnom obliku.
S obzirom da implicitne jednadžbe često imaju više rješenja (broj rješenja odgovara stupnju funkcije, odnosno najvišoj potenciji), često je nužno postaviti ograničenja na dozvoljene nultočke grafova i domenu funkcije.
Implicitna jednadžba može se pretvoriti u eksplicitni oblik gdje je I , odnosno .
Segmentna jednadžba funkcije direktno prikazuje odsječke (segmente) na y-osi i x-osi. Općeniti oblik zapisuje se kao gdje je m odsječak na y-osi, a n odsječak na x-osi . Iz eksplicitno zapisane jednadžbe može se dobiti da je i , odnosno .
- ↑ Pojam nultočke općenito obuhvaća samo realna rješenja neke funkcije, no ne i komplekna
- ↑ Charles C Pinter. 2014. [1971] A Book of Set Theory. Dover Publications. str. 49. ISBN 978-0-486-79549-2 CS1 održavanje: nepreporučeni parametar - origyear (pomoć)
- Graph of function, derivative and antiderivative plotter Arhivirana inačica izvorne stranice od 18. ožujka 2016. (Wayback Machine)
- Weisstein, Eric W. "Function Graph." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
- Graphing slope-intercept - simulacija povezanosti funkcije i izgleda grafa, PhET, Sveučilište u Coloradu