Podskup

U matematici, a posebno u teoriji skupova, skup A je podskup skupa B ako je A sadržan u B. Pritom A može biti jednak B.

Definicije

Ako su A i B skupovi, i svaki element iz A je također i element iz B, onda:

• A je podskup skupa B, u oznaci $A\subseteq B$,

ili ekvivalentno

• B je nadskup skupa A, u oznaci $B\supseteq A$.

Ako je A podskup od B, ali A nije jednak B (to jest, postoji barem jedan element u B koji ne postoji u A), onda

• A je također pravi podskup od B; ovo se zapisuje kao $A\subsetneq B$.

ili ekvivalentno

• B je pravi nadskup od A; ovo se zapisuje kao $B\supsetneq A$.

Za svaki skup S, relacija inkluzije ⊆ je parcijalni uređaj na skupu 2^S svih podskupova od S (partitivni skup od S).

Simboli ⊂ i ⊃

Ponekad se zapisuje -{A ⊂ B}- umjesto -{A ⊆ B}- da bi označili da je A podskup od B. Slično, ponekad se piše A ⊃ B da bi označili da je A nadskup od B. Po ovoj konvenciji, ako je sve što znamo da je A ⊂ B, još uvijek je moguće da su A i B jednaki skupovi.

Nekad se simboli ⊂ i ⊃ koriste da označe prave podskupove ili nadskupove umjesto $\subsetneq$ i $\supsetneq$. Ovo korištenje čini simbole ⊆ i ⊂ analogne simbolima ≤ i <. Na primer, ako x ≤ y onda x može biti jednako y, ali ne mora, ali ako je x < y, onda x sigurno nije jednako y, već je strogo manje od y. Slično, ako se uzme da ⊂ znači pravi podskup, onda ako A ⊆ B, slijedi da A može ali ne mora biti jednako B, ali ako A ⊂ B, onda A sigurno nije jednako B.

Primjeri

• Skup {1, 2} je pravi podskup skupa {1, 2, 3}.
• Svaki skup je podskup samog sebe, ali nije pravi podskup samog sebe.
• Prazan skup, u oznaci ∅, je također podskup svakog danog skupa X. Prazan skup je uvijek pravi podskup, osim sebi samom.
• Skup {x : x je prost broj veći od 2000} je pravi podskup skupa {x : x je neparan broj veći od 1000}
• Skup prirodnih brojeva je pravi podskup skupa racionalnih brojeva, a skup točaka na dužini je pravi podskup skupa točaka na pravcu na kojem ta dužina leži. Ovo su kontraintuitivni primjeri kod kojih su i dio i cjelina beskonačni, i dio ima isti broj elemenata kao cjelina.