Suradnik:Vojka/pijesak: razlika između inačica

Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj

Prikaz u jednom stupcu

Inačica od 5. siječnja 2013. u 22:51

Kompleksni brojevi su izrazi oblika $a+bi$ , gdje su $a$ i $b$ realni brojevi, a $i$ imaginarna jedinica. U ovome izrazu, $a$ se zove realni dio kompleksnog broja, a $b$ imaginarni dio kompleksnog broja. Kompleksni brojevi proširuju ideju jednodimenzionalnog brojevnog pravca u dvodimenzionalnu kompleksnu ravninu tako što uzima vodoravnu os za realni dio broja, a okomitu os za imaginarni dio broja. Kompleksni broj $a+bi$ može se zapisati točkom $(a,b)$ u kompleksnoj ravnini. Kompleksni broj kojemu je imaginarni dio jednak nuli je realan broj. Na ovaj način kompleksni brojevi sadrže realne brojeve proširujući ih tako da možemo riješiti probleme koji nisu rješivi u skupu realnih brojeva.

Kompleksni se brojevi koriste u mnogim poljima znanosti, uključujući fiziku, kemiju, biologiju, ekonomiju, statistiku i matematiku. Prvi koji je uveo kompleksne brojeve bio je talijanski matematičar Girolamo Cardano. Nazvao ih je "imaginarnima" tijekom svojih pokušaja da riješi kubnu jednadžbu u 16. stoljeću, ali oni nisu ništa manje "stvarni" od ostalih vrsta brojeva.

Trigonometrijski oblik

Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:

a+bi=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )\,

,

$\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\ \phi =\arctan {\frac {b}{a}}$ , za $a>0$ i $\phi =\pi +\arctan {\frac {b}{a}}$ za $a<0$ ; kada je $a=0$ onda je $\phi ={\frac {\pi }{2}}$ , ako je $b>0$ i $\phi =-{\frac {\pi }{2}}$ , ako je $b<0$ . Broj $\rho$ se naziva modul kompleksnog broja, a $\phi$ je argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je vrlo pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se zbrajaju. Iz ovog pravila proizlazi [[De Moivre|De Moivreova formula:

(\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \,

.

Kompleksni se brojevi često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravnini (slika dolje). Geometrijski smisao brojeva $a,b,\rho ,\phi$ vidi se na crtežu. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se zbrajaju po pravilu paralelograma.

Duljina vektora $\rho$ je modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorinog teorema. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sustava: $|z|=\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ .

Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Vrijedi sljedeća Eulerova formula:

e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi \,

;

preko nje se definira stupnjevanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.

Kompleksni brojevi oblikuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa $i$ , takvog da je $i^{2}=-1$ .

Predložak:Link FA

@@ Redak 1: / Redak 1: @@
+[[Image:Complex number illustration.svg|thumb|right|Kompleksni broj se može vizualno prikazati kao uređeni par <math>(a,b)</math> koji formiraju [[vektor]] u kompleksnoj ravnini. ''Re'' je realna os, a ''Im'' je imaginarna os]]
-[[Image:Pascal's triangle 5.svg|right|thumb|200px|[[Binomni koeficijent|Binomni koeficijenti]] se mogu izračunati kao dijelovi Pascalova trokuta, gdje je svaki broj zbroj ona dva iznad njega.]] U elementarnoj algebri, binomni poučak opisuje algebarsko proširivanje potencije [[binom|binoma]]. Prema tom poučku moguće je (''x''&nbsp;+&nbsp;''y'')<sup>''n''</sup> proširiti u sumu koja uključuje izraze oblika ''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>, gdje su b i c pozitivni [[cijeli brojevi]], i koeficijent ''a'' je specifični pozitivni [[broj]] ovisan o ''n'' i ''b''. Kada je [[eksponent]] jednak nuli, taj se element izostavi iz niza. Na primjer :
+'''Kompleksni brojevi''' su [[izraz]]i oblika <math>a + bi</math>, gdje su <math>a</math> i <math>b</math> [[realni brojevi]], a <math>i</math> [[Imaginarni broj|imaginarna jedinica]]. U ovome izrazu, <math>a</math> se zove realni dio kompleksnog broja, a <math>b</math> imaginarni dio kompleksnog broja. Kompleksni brojevi proširuju ideju jednodimenzionalnog [[Brojevni pravac|brojevnog pravca]] u dvodimenzionalnu [[Kompleksna ravnina|kompleksnu ravninu]] tako što uzima vodoravnu os za realni dio broja, a okomitu os za imaginarni dio broja. Kompleksni broj <math>a+bi</math> može se zapisati točkom <math>(a, b)</math> u kompleksnoj ravnini. Kompleksni broj kojemu je imaginarni dio jednak nuli je [[Realni broj|realan broj]]. Na ovaj način kompleksni brojevi sadrže [[Realni broj|realne brojeve]] proširujući ih tako da možemo riješiti probleme koji nisu rješivi u skupu realnih brojeva.
-<math>(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.</math>
+Kompleksni se brojevi koriste u mnogim poljima znanosti, uključujući [[fizika|fiziku]], [[kemija|kemiju]], [[biologija|biologiju]], [[ekonomija|ekonomiju]], [[statistika|statistiku]] i [[matematika|matematiku]]. Prvi koji je uveo kompleksne brojeve bio je talijanski matematičar [[Girolamo Cardano]]. Nazvao ih je "imaginarnima" tijekom svojih pokušaja da riješi [[kubna jednadžba|kubnu jednadžbu]] u 16. stoljeću, ali oni nisu ništa manje "stvarni" od ostalih vrsta brojeva.
-Koeficijent ''a'' u izrazu ''x''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup> je također poznat kao [[binomni koeficijent]] <math>\tbinom nb</math> ili <math>\tbinom nc</math> (ova dva imaju istu vrijednost). Ovi koeficijenti za različite ''n'' i ''b'' se mogu složiti u [[Pascalov trokut]]. Ovi se brojevi također pojavljuju u [[kombinatorika|kombinatorici]], gdje <math>\tbinom nb</math> daje broj različitih kombinacija ''b'' elemenata izabranih iz [[skup|skupa]] od ''n'' elemenata.
+== Trigonometrijski oblik ==
+Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:
+<center><math>a+bi= \rho (\cos \phi +i \sin \phi )\,</math>,</center>
-==Povijest==
+<math> \rho = \sqrt{a^2+b^2}, \ \phi = \arctan \frac{b}{a}</math>, za <math>a>0</math> i <math> \phi = \pi + \arctan \frac{b}{a}</math> za <math>a<0</math>; kada je <math>a=0</math> onda je <math> \phi = \frac{ \pi}{2}</math>, ako je <math>b>0</math> i <math> \phi =- \frac{ \pi}{2}</math>, ako je <math>b<0</math>. Broj <math> \rho</math> se naziva [[modul]] kompleksnog broja, a <math> \phi</math> je [[argument]] kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je vrlo pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se zbrajaju. Iz ovog pravila proizlazi [[De Moivre|De Moivreova formula:
-Formula i prikaz binomnih koeficijenata u obliku trokuta se često pripisuju [[Blaise Pascal|Blaiseu Pascalu]], koji ih je opisao u 17. stoljeću, iako je bio poznat mnogim matematičarima prije njega. U 4. stoljeću pr. Kr [[Euklid| grčki matematičar Euklid]] je znao posebni slučaj binomnog poučka za ''n''=2, kao i u 3. stoljeću pr. Kr indijski matematičar [[Pingala]] za više eksponente. Općeniti binomni poučak  i takozvani "Pascalov trokut" su bili poznati u 10. stoljeću poslije Krista indijskom matematičaru Halayudhi i perzijskom matematičaru Al-Karaji, te u 11. stoljeću perzijskom pjesniku i matematičaru Omaru Khayyamu,i u 13. stoljeću kineskom matematičaru Yangu Huiu, koji su svi imali slične rezultate. Al-Karaji je također dokazao binomni poučak i "Pascalov trokut", koristeći [[Matematička indukcija|matematičku indukciju]]
+<center><math>( \cos \phi +i \sin \phi )^n= \cos n \phi +i \sin n \phi\,</math> .</center>
-==Iskaz poučka==
+Kompleksni se brojevi često predstavljaju [[vektor]]ima u [[kompleksna ravnina|kompleksnoj ravnini]] (slika dolje). Geometrijski smisao brojeva <math>a,b, \rho,\phi</math> vidi se na [[crtež]]u. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se zbrajaju po [[pravilo paralelograma|pravilu paralelograma]].
-Prema poučku, moguće je proširiti bilo koju potenciju od ''x + y'' u zbroj oblika :
+[[Datoteka:Kompleksna-ravan.gif]]
-<math>(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,</math>, gdje je <math> \tbinom nk </math> specifičnipozitivan broj poznat kao binomni koeficijent. Ovo je također poznato kao [[binomna formula]] ili [[binomni identitet]]. Također se može zapisati kao :
+Duljina vektora <math>\rho</math> je modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću [[Pitagorina teorem|Pitagorinog teorema]]. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sustava: <math>|z|=\rho = \sqrt{a^2+b^2}</math>.
-<math>(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k =  \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.
-</math>
+Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Vrijedi sljedeća [[Eulerova formula]]:
-Jedna od varijanti binomne formule se dobija zamjenom 1 za ''y'', tako da ima samo jednu [[varijabla|varijablu]]. U ovom obliku, formula izgleda ovako :
+<center><math>e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi \,</math>;</center>
-:<math>(1+x)^n = {n \choose 0}x^0 + {n \choose 1}x^1 + {n \choose 2}x^2 +  \cdots + {n \choose {n-1}}x^{n-1} + {n \choose n}x^n,</math>
+preko nje se definira [[stupnjevanje]] kompleksnih brojeva, [[logaritam]] kompleksnog broja i dr.
-ili ekvivalento :
+Kompleksni brojevi oblikuju [[algebarsko zatvoreno polje]]. [[Polje]] kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa <math>i</math>, takvog da je <math>i^2=-1</math>.
-:<math>(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k.</math>
+[[Kategorija:Brojevi]]
-==Primjeri==
-[[Image:Pascal triangle small.png|thumb|right|300px|Pascalov trokut]]
-Najjednostavniji primjer je kvadrat od ''x+y'' :
+{{Link FA|lmo}}
-:<math>(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.\!</math>
+[[af:Komplekse getal]]
-Binomni koeficijenti 1, 2, 1 se pojavljuju u trećem redu [[Pascalov trokut|Pascalova trokuta]]. Koeficijenti za veće eksponente se nalaze u nižim redovima Pascalova trokuta.
+[[am:የአቅጣጫ ቁጥር]]
+[[an:Numero complexo]]
-<math>
+[[ar:عدد مركب]]
-\begin{align}
+[[as:জটিল সংখ্যা]]
-(x+y)^3 & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\[8pt]
+[[az:Kompleks ədədlər]]
-(x+y)^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt]
+[[bat-smg:Kuompleksėnis skaitlios]]
-(x+y)^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\[8pt]
+[[be:Камплексны лік]]
-(x+y)^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt]
+[[be-x-old:Камплексны лік]]
-(x+y)^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7.
+[[bg:Комплексно число]]
-\end{align}
+[[bn:জটিল সংখ্যা]]
-</math>
+[[bs:Kompleksan broj]]
+[[ca:Nombre complex]]
+[[cs:Komplexní číslo]]
-Primjetite da :
+[[cy:Rhif cymhlyg]]
-# eksponenti od ''x'' se smanjuju dok ne dođu do nule (<math>x^0=1</math>), a početna im je vrijednost ''n''
+[[da:Komplekse tal]]
-# eksponenti od ''y'' rastu dok ne dođu do ''n'', a početna im je vrijednost 0 (<math>x^0=1</math>)
+[[de:Komplexe Zahl]]
-# ''N''-ti red Pascalova trokuta će biti koeficijenti proširenog binoma. (Red na vrhu je red 0)
+[[el:Μιγαδικός αριθμός]]
-# Za svaki red Pascalova trokuta, zbroj koeficijenata je jednak <math>2^n</math>.
+[[eml:Nómmer cumplês]]
+[[en:Complex number]]
-Za binome koji imaju oduzimanje, poučak se može primjeniti, sve dok mijenjamo predznak svako drugom koeficijentu u izrazu :
+[[eo:Kompleksa nombro]]
+[[es:Número complejo]]
-:<math>(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3.\!</math>
+[[et:Kompleksarv]]
+[[eu:Zenbaki konplexu]]
-===Geometrijsko objašnjenje===
+[[fa:عدد مختلط]]
-[[datoteka:BinomialTheorem.png|desno|270px]]
+[[fi:Kompleksiluku]]
-Za pozitivne vrijednosti ''a'' i ''b'', binomni poučak za ''n'' = 2, geometrijski je očito da se [[kvadrat]] sa stranicom ''(a+b)'' može izrezati u kvadrat sa stranicom <math>a^2</math>, kvadrat sa stranicom <math>b^2</math>, i dva pravokutnika da stranicama ''a'' i ''b''. Za ''n=3'', poučak kaže da se kocka sa stranicom ''(a + b)'' može izrezati u kocku sa stranicom <math>a^3</math>, kocku sa stranicom <math>b^2</math>, tri kvadra oblika ''a''&times;''a''&times;''b'' te tri kvadra oblika ''a''&times;''b''&times;''b''.
+[[fiu-vro:Kompleksarv]]
+[[fo:Fløkjutal]]
-==Binomni koeficijenti==
+[[fr:Nombre complexe]]
+[[fy:Kompleks getal]]
-Koeficijenti koji se pojavljuju u binomnom poučku se zovu '''binomni koeficijenti'''.
+[[ga:Uimhir choimpléascach]]
+[[gan:複數]]
-===Formulas===
+[[gl:Número complexo]]
+[[he:מספר מרוכב]]
-Koeficijent od  ''x''<sup>''n''&minus;''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup> je zadan formulom
+[[hi:समिश्र संख्या]]
+[[hu:Komplex számok]]
-:<math>{n \choose k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>,
+[[id:Bilangan kompleks]]
+[[is:Tvinntölur]]
-koji je definiran funkcijom faktorijela. Također, formula se može zapisati kao  :
+[[it:Numero complesso]]
+[[ja:複素数]]
-:<math>{n \choose k} = \frac{n (n-1) \cdots (n-k+1)}{k (k-1) \cdots 1} = \prod_{\ell=1}^k \frac{n-\ell+1}{\ell}</math>
+[[jbo:relcimdyna'u]]
+[[ka:კომპლექსური რიცხვი]]
-==Dokazi==
+[[kk:Комплекс сан]]
-===Kombinatorični dokaz===
+[[km:ចំនួនកុំផ្លិច]]
+[[ko:복소수]]
+[[la:Numerus complexus]]
+[[lmo:Nümar cumpless]]
+[[lo:ຈຳນວນສົນ]]
+[[lt:Kompleksinis skaičius]]
+[[lv:Komplekss skaitlis]]
+[[mg:Isa haro]]
+[[mk:Комплексен број]]
+[[ml:മിശ്രസംഖ്യ]]
+[[ms:Nombor kompleks]]
+[[my:ကွန်ပလက်စ်ကိန်း]]
+[[nl:Complex getal]]
+[[nn:Komplekse tal]]
+[[no:Komplekst tall]]
+[[oc:Nombre complèxe]]
+[[os:Комплексон нымæц]]
+[[pl:Liczby zespolone]]
+[[pms:Nùmer compless]]
+[[pnb:کمپلیکس نمبر]]
+[[pt:Número complexo]]
+[[ro:Număr complex]]
+[[ru:Комплексное число]]
+[[rue:Комплексне чісло]]
+[[sah:Комплекс ахсаан]]
+[[scn:Nùmmuru cumplessu]]
+[[sh:Kompleksan broj]]
+[[si:සංකීර්ණ සංඛ්‍යා]]
+[[simple:Complex number]]
+[[sk:Komplexné číslo]]
+[[sl:Kompleksno število]]
+[[sq:Numrat kompleksë]]
+[[sr:Комплексан број]]
+[[sv:Komplexa tal]]
+[[ta:சிக்கலெண்]]
+[[te:సంకీర్ణ సంఖ్యలు]]
+[[th:จำนวนเชิงซ้อน]]
+[[tl:Masalimuot na bilang]]
+[[tr:Karmaşık sayı]]
+[[tt:Комплекс сан]]
+[[uk:Комплексне число]]
+[[ur:مختلط عدد]]
+[[vi:Số phức]]
+[[vls:Complexe getalln]]
+[[war:Complex number]]
+[[xal:Комплексин тойг]]
+[[yi:קאמפלעקסע צאל]]
+[[yo:Nọ́mbà tóṣòro]]
+[[zh:复数 (数学)]]
+[[zh-classical:複數]]
+[[zh-min-nan:Ho̍k-cha̍p-sò͘]]
+[[zh-yue:複數]]