Imaginarni broj

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži
\ldots (ponavlja uzorak
iz plavog područja)
i –3 = i
i –2 = –1
i –1 = –i
i 0 = 1
i 1 = i
i 2 = –1
i 3 = –i
i 4 = 1
i 5 = i
i 6 = –1
i n = i n mod 4
(pogledaj modulus)

U matematici, imaginarni broj je kompleksni broj čiji je kvadrat negativni realni broj. Imaginarni brojevi imaju oblik bi, gdje je b realni broj koji nije jednak nuli, a i je imaginarna jedinica za koju vrijedi:

i^2=-1\,.

Imaginarni broj bi se može zbrojiti s realnim brojem "a", stvarajući kompleksni broj oblika a + bi, kod kojeg je a "realni dio", a b "imaginarni dio". Imaginarni brojevi se dakle mogu smatrati kompleksnim brojevima kod kojih je "realni dio" nula i obrnuto. Sam naziv "imaginarni broj" izmišljen je u 17. stoljeću kao pogrdni naziv, jer su neki smatrali da su ti brojevi nestvarni i neprimjenjivi, no danas se koriste u mnogim znanstvenim, inženjerskim i ostalim područjima.

Povijest[uredi VE | uredi]

Iako je grčki matematičar i inženjer Heron iz Aleksandrije naveden kao prvi koji je primijetio imaginarne brojeve, Rafael Bombelli je 1572. definirao pravila za množenje ovih brojeva. U to su vrijeme pojedinci smatrali da su imaginarni brojevi nestvarni i nevažni, kao što su nekada smatrali i nula i negativni brojevi. Mnogi drugi matematičari su bili spori u tome da prihvate upotrebu imaginarnih brojeva, kao što je bio René Descartes koji je pogrdno pisao o njima u svom radu La Géométrie.[1] Descartes je bio prvi koji je upotrebio pojam "imaginarni broj" 1637. godine. Međutim, čistu ideju o imaginarnim brojevima je mnogo prije izmislio Gerolazmo Cardano u 16. stoljeću. Ta ideja nije bila široko prihvaćena sve do rada Leonharda Eulera (1707.-1783.) i Carla Friedrich Gaussa (1777.-1855.). Prvi koji je shvatio značenje inaginarnih brojeva u geometriji bio je Caspar Wessel (1745-1818).[2]

1843., matematički fizičar William Rowan Hamilton je proširio ideju o osi imaginarnih brojeva u trodimenzionalnom prostoru imaginarnih kvaterniona. Razvojem kvocijenata polinomijalnih prstenova koncept imaginarnoga broja je postao značajniji, dok su se našli i drugi imaginarni brojevi kao j od tesarina čiji je kvadrat +1. Ova ideja je se prvi puta pojavila u člancima James Cocklea 1848-e.

Geometrijska interpretacija[uredi VE | uredi]

Geometrijski gledano, imaginarni brojevi nalaze se na vertikalnoj osi u kompleksnoj ravnini, što omogućava da budu prezentirani pravokutno na realnu os. Jedan način na koji se mogu shvatiti imaginarni brojevi je da se uzme u obzir standardna brojevna crta, povećavajući se pozitivno prema desnoj strani, i smanjujući negativno prema lijevoj. Kod broja 0 na x-osi, može se nacrtati y-os s pozitivnim pravcem prema gore. Pozitivni imaginarni brojevi se povećavaju prema gore, dok se negativni smanjuju prema dolje. Ova vertikalna os se često naziva imaginarna os i označava se kao "i\mathbb{R}", "\mathbb{I}" ili jednostavno kao "Im".

U ovoj reprezentaciji množenje s -1 je jednako rotaciji od 180 stupnjeva u odnosu na koordinatni početak. Množenje s i je jednako rotaciji od 90 stupnjeva u pozitivnom pravcu (u pravac kazaljke na satu|suprotnom pravcu kazaljke na satu). Jednadžba i^2 = -1 se interpretira kao dvije rotacije od 90 stupnjeva u odnosu na koordinatni početak, što je isti rezultat kao jedna rotacija od 180 stupnjeva. Treba zapaziti da rotacija od 90 stupnjeva u negativnom pravcu (pravcu kazaklje na satu) isto zadovoljava ovu interpretaciju. Ovo potvrđuje činjenicu da -i isto rješava jednadžbu x^2 = -1.

Primjena imaginarnih brojeva[uredi VE | uredi]

Imaginarni brojevi koriste se u procesiranju signala, teoriji kontrole, elektromagnetizmu, mehanici fluida, dinamici fluida, kvantnoj mehanici, kartografiji i analizi vibracija. Princip imaginarnog broja opaža se i u izmjeničnoj struji.

Stupnjevanje imaginarnog broja i[uredi VE | uredi]

Stupnjevanje imaginarnog broja i kružno se ponavlja. To se može vidjeti u slijedećem primjeru gdje n predstavlja bilo koji broj:

i^{4n} = 1\,
i^{4n+1} = i\,
i^{4n+2} = -1\,
i^{4n+3} = -i.\,

Dolazimo do zaključka da je i^n = i^{n \bmod 4}\,.

Izvori[uredi VE | uredi]

  1. Martinez, A. A., Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton, Princeton University Press, 2006., (raspravlja o dvosmislenosti značenja imaginarnih izraza u povijesnom kontekstu.)
  2. (1988) A history of non-euclidean geometry: evolution of the concept of a geometric space, Springer. ISBN 0-387-96458-4, Poglavlje 10, stranica 382.