Suradnik:Vojka/pijesak: razlika između inačica

Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj

Prikaz u jednom stupcu

Inačica od 5. siječnja 2013. u 23:17

Kompleksni brojevi su izrazi oblika $a+bi$ , gdje su $a$ i $b$ realni brojevi, a $i$ imaginarna jedinica. U ovome izrazu, $a$ se zove realni dio kompleksnog broja, a $b$ imaginarni dio kompleksnog broja. Kompleksni brojevi proširuju ideju jednodimenzionalnog brojevnog pravca u dvodimenzionalnu kompleksnu ravninu tako što uzima vodoravnu os za realni dio broja, a okomitu os za imaginarni dio broja. Kompleksni broj $a+bi$ može se zapisati točkom $(a,b)$ u kompleksnoj ravnini. Kompleksni broj kojemu je imaginarni dio jednak nuli je realan broj. Na ovaj način kompleksni brojevi sadrže realne brojeve proširujući ih tako da možemo riješiti probleme koji nisu rješivi u skupu realnih brojeva.

Kompleksni se brojevi koriste u mnogim poljima znanosti, uključujući fiziku, kemiju, biologiju, ekonomiju, statistiku i matematiku. Prvi koji je uveo kompleksne brojeve bio je talijanski matematičar Girolamo Cardano. Nazvao ih je "imaginarnima" tijekom svojih pokušaja da riješi kubnu jednadžbu u 16. stoljeću, ali oni nisu ništa manje "stvarni" od ostalih vrsta brojeva.

Pregled

Kompleksni brojevi omogućavaju rješenja jednadžbama koja nemaju realna rješenja. Jednadžba :

$(x+1)^{2}=-9$

nema realnog rješenja, budući da je kvadrat realnog broja uvijek ili 0 ili pozitivan broj. Kompleksni brojevi imaju rješenje za ovu jednadžbu. Oni proširuju realne brojeve sa imaginarnom jedinicom i za koju vrijedi $i^{2}=-1$ , tako da su jednadžbe poput ove iznad ipak rješive. U ovom slučaju, rješenje je -1 ± 3i. Zapravo, ne samo kvadratna jednadžba , već sve polinomalne jednadžbe sa jednom varijablom mogu se riješiti koristeći kompleksne brojeve.

Definicija

Kompleksni brojevi se prikazuju u obliku $a+bi$

Predložak:Link FA

@@ Redak 4: / Redak 4: @@
 Kompleksni se brojevi koriste u mnogim poljima znanosti, uključujući [[fizika|fiziku]], [[kemija|kemiju]], [[biologija|biologiju]], [[ekonomija|ekonomiju]], [[statistika|statistiku]] i [[matematika|matematiku]]. Prvi koji je uveo kompleksne brojeve bio je talijanski matematičar [[Girolamo Cardano]]. Nazvao ih je "imaginarnima" tijekom svojih pokušaja da riješi [[kubna jednadžba|kubnu jednadžbu]] u 16. stoljeću, ali oni nisu ništa manje "stvarni" od ostalih vrsta brojeva.
-== Trigonometrijski oblik ==
-Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:
+==Pregled==
-<center><math>a+bi= \rho (\cos \phi +i \sin \phi )\,</math>,</center>
+Kompleksni brojevi omogućavaju rješenja jednadžbama koja nemaju [[realni broj|realna rješenja]]. Jednadžba :
+<math>(x+1)^2 = -9</math>
-<math> \rho = \sqrt{a^2+b^2}, \ \phi = \arctan \frac{b}{a}</math>, za <math>a>0</math> i <math> \phi = \pi + \arctan \frac{b}{a}</math> za <math>a<0</math>; kada je <math>a=0</math> onda je <math> \phi = \frac{ \pi}{2}</math>, ako je <math>b>0</math> i <math> \phi =- \frac{ \pi}{2}</math>, ako je <math>b<0</math>. Broj <math> \rho</math> se naziva [[modul]] kompleksnog broja, a <math> \phi</math> je [[argument]] kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je vrlo pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se zbrajaju. Iz ovog pravila proizlazi [[De Moivre|De Moivreova formula:
+nema realnog rješenja, budući da je kvadrat [[realni broj|realnog broja]] uvijek ili 0 ili pozitivan broj. Kompleksni brojevi imaju rješenje za ovu jednadžbu. Oni proširuju realne brojeve sa [[imaginarni broj|imaginarnom jedinicom]] ''i'' za koju vrijedi <math>i^2 = -1</math>, tako da su jednadžbe poput ove iznad ipak rješive. U ovom slučaju, rješenje je  ''-1 ± 3i''. Zapravo, ne samo [[kvadratna jednadžba ]], već sve polinomalne jednadžbe sa jednom [[varijabla|varijablom]] mogu se riješiti koristeći kompleksne brojeve.
-<center><math>( \cos \phi +i \sin \phi )^n= \cos n \phi +i \sin n \phi\,</math> .</center>
+===Definicija===
-Kompleksni se brojevi često predstavljaju [[vektor]]ima u [[kompleksna ravnina|kompleksnoj ravnini]] (slika dolje). Geometrijski smisao brojeva <math>a,b, \rho,\phi</math> vidi se na [[crtež]]u. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se zbrajaju po [[pravilo paralelograma|pravilu paralelograma]].
+Kompleksni brojevi se prikazuju u obliku
+<math>a+bi</math>
-[[Datoteka:Kompleksna-ravan.gif]]
-Duljina vektora <math>\rho</math> je modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću [[Pitagorina teorem|Pitagorinog teorema]]. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sustava: <math>|z|=\rho = \sqrt{a^2+b^2}</math>.
-Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Vrijedi sljedeća [[Eulerova formula]]:
-<center><math>e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi \,</math>;</center>
-preko nje se definira [[stupnjevanje]] kompleksnih brojeva, [[logaritam]] kompleksnog broja i dr.
-Kompleksni brojevi oblikuju [[algebarsko zatvoreno polje]]. [[Polje]] kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa <math>i</math>, takvog da je <math>i^2=-1</math>.
 [[Kategorija:Brojevi]]