Fibonaccijev broj: razlika između inačica
Nema sažetka uređivanja |
Nema sažetka uređivanja Oznake: mobilni uređaj m.wiki |
||
Redak 1: | Redak 1: | ||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
:<math> |
:<math> |
||
F(n):= |
F(n):= |
||
Redak 11: | Redak 8: | ||
\end{cases} |
\end{cases} |
||
</math> |
</math> |
||
To jest, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika: 2+3 dat će 5, 3+5 dat će 8, 5+8 dat će 13 itd. Prvi Fibonaccijevi brojevi {{OEIS|id=A000045}}, također označeni kao ''F<sub>n</sub>'', za ''n'' = 0, 1, … , su: |
|||
: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269… |
|||
Dakle, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Primjerice, <math> 2 + 3 </math> dat će <math> 5 </math>, <math> 3 + 5 </math> dat će <math> 8 </math>, itd. |
|||
⚫ | |||
Prvi Fibonaccijevi brojevi, također označeni kao <math> F_n </math>, za <math> n = 0, 1, 2, ... </math> su redom <math> 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... </math> |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | Fibonaccijevi brojevi su imenovani po [[Fibonacci|Leonardu od Pise]], poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u [[Indijska matematika|Indiji]].<ref>Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.{{ISSN|0047-6269}}]</ref><ref>Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985</ref> |
||
== Varijacije niza == |
|||
Možemo konstruirati nove nizove za koje neće nužno vrijediti <math> F_1 = F_2 = 1 </math> kao što to vrijedi za Fibobaccijev niz. No, |
|||
željet ćemo da osnovno pravilo pravilo <math> F_n = F_{n - 2} + F_{n - 1}</math> vrijedi za te nizove. Uočimo da je neki takav niz <math> a_{F_1, F_2} </math> zadan ako su zadani <math> F_1, F_2 \in \mathbb{N} </math> Takve nizove možemo zvati Fibonaccijevoliki nizovi. |
|||
=== Primjeri === |
|||
Ovdje su primjeri takvih nizova: |
|||
<math> a_{(5,5)} = 5, 5, 10, 15, 35, ... </math>, |
|||
<math> a_{(3, 8)} = 3, 8, 11, 19, ... </math>, |
|||
no može biti i <math> F_2 < F_2 </math> kao npr. |
|||
<math> a_{(4, 2)} = 4, 2, 6, 8, ... </math> |
|||
== Diferencija Fibonaccijeve trojke == |
|||
Tri utastopna člana <math> F_{n}, F_{n + 1}, F_{n + 2}</math> Fibonaccijevog niza zajednički zovemo Fibobaccijeva trojka. Uočimo da za <math> n \in \{2, 3, ...\} </math> vrijedi <math> F_{n} < F_{n + 1} < F_{n + 2}. </math> |
|||
(Za <math> n = 1 </math> sustav nejednakosti <math> F_n < F_{n + 1} < F_{n + 2} </math> ipak ne vrijedi ako niz počinje s <math> F_2 \leq F_1.</math>) |
|||
Dakle, intuitivno je da vrijedi <math> F_nF_{n + 2} \approx F_{n + 1}F_{n + 1}. </math> |
|||
Označimo s <math> D = F_nF_{n + 2} - F_{n + 1}F_{n + 1}. </math> |
|||
Pretpostavimo sada da su <math> F_1 \leq F_2 </math> dva početna broja niza za kojeg vrijedi osnovni identitet iz Fibonaccijevog niza. |
|||
Hoće li umnožak 1. i 3. člana (<math> F_n \cdot F_{n + 2} </math>) neke trojke biti veći odnosno manji od kvadrata srednjeg člana (<math> F_{n + 1} </math>) te trojke isključivo ovisi o ''razlici'' <math> d </math> 1. i 2. člana tog niza, <math> d = F_2 - F_1 </math>. |
|||
Ispišimo prvih nekoliko članova tog niza: <math> F_1 = x, F_2 = x + d, F_3 = 2x + d, F_4 = 3x + 2d, ... </math> |
|||
Razlika <math> (x + x + d)x - x \cdot x </math> je jednaka <math> x \cdot x + (x + d)x - x \cdot x = (x + d)x. </math> |
|||
=== Slučaj 1.,<math> F_1 = F_2 </math> === |
|||
Ovdje će vrijediti <math> F_nF_{n + 2} = F_{n + 1}F_{n + 1} + (- 1)^nF^2, </math> tj. vrijedit će <math> D = F^2 </math> ako je <math> n </math> paran, odnosno <math> D = - d^2 </math> ako je neparan. (1) |
|||
''Dokaz.'' |
|||
Uočimo da je <math> d = 0. </math> |
|||
Ispišimo nekolio članova ovog niza: <math> x, x, x + x, (x + x) + x, ... = x, x, 2x, 3x, ...</math> Za prvu trojku <math> T_1 = (x, x, x + x) </math> vrijedi (1) jer je <math> D = (x + x)x - xx = xx = x^2 = F^2. </math> Za sljedeću trojku <math> T_2 = (x, 2x, 3x) </math> računamo <math> D = ((x + x) + x)x - (x + x)(x + x), </math> odakle je <math> D = - xx = - F^2. </math> Slično se provjeri za <math> T_3 = (2x, 3x, 5x) </math> pa se (1) lako dokaže matematičkom indukcijom. |
|||
Dakle, vrijedit će <math> D(T_1) = F^2, D(T_2) = - F^2, D(T_3) = F^2, ... </math> |
|||
=== Slučaj 2., <math> F_1 < F_2 </math> === |
|||
⚫ | Fibonaccijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao |
||
Slično se dokazuje da u ovom slučaju vrijedi <math> D = F_1^2 - (F_1 + d)d. </math> Odavde vidimo da ako je <math> d < F_1 </math> će biti <math> D(T_{2k - 1})> 0, D(T_{2k}) < 0</math> za <math> k \in \mathbb{N} </math>, a ako je <math> d > F_1 </math> vrijedit će obratno. |
|||
== Fibonnacijev niz u prirodi == |
== Fibonnacijev niz u prirodi == |
Inačica od 25. prosinca 2020. u 21:09
Fibonaccijevi brojevi oblikuju niz definiran sljedećom rekurzivnom relacijom:
Dakle, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Primjerice, dat će , dat će , itd.
Prvi Fibonaccijevi brojevi, također označeni kao , za su redom
Uobičajeno je da se za ovaj niz smatra da počinje na , ali može se uključiti .
Fibonaccijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u Indiji.[1][2]
Varijacije niza
Možemo konstruirati nove nizove za koje neće nužno vrijediti kao što to vrijedi za Fibobaccijev niz. No, željet ćemo da osnovno pravilo pravilo vrijedi za te nizove. Uočimo da je neki takav niz zadan ako su zadani Takve nizove možemo zvati Fibonaccijevoliki nizovi.
Primjeri
Ovdje su primjeri takvih nizova: , , no može biti i kao npr.
Diferencija Fibonaccijeve trojke
Tri utastopna člana Fibonaccijevog niza zajednički zovemo Fibobaccijeva trojka. Uočimo da za vrijedi (Za sustav nejednakosti ipak ne vrijedi ako niz počinje s )
Dakle, intuitivno je da vrijedi Označimo s
Pretpostavimo sada da su dva početna broja niza za kojeg vrijedi osnovni identitet iz Fibonaccijevog niza.
Hoće li umnožak 1. i 3. člana () neke trojke biti veći odnosno manji od kvadrata srednjeg člana () te trojke isključivo ovisi o razlici 1. i 2. člana tog niza, .
Ispišimo prvih nekoliko članova tog niza:
Razlika je jednaka
Slučaj 1.,
Ovdje će vrijediti tj. vrijedit će ako je paran, odnosno ako je neparan. (1)
Dokaz. Uočimo da je Ispišimo nekolio članova ovog niza: Za prvu trojku vrijedi (1) jer je Za sljedeću trojku računamo odakle je Slično se provjeri za pa se (1) lako dokaže matematičkom indukcijom.
Dakle, vrijedit će
Slučaj 2.,
Slično se dokazuje da u ovom slučaju vrijedi Odavde vidimo da ako je će biti za , a ako je vrijedit će obratno.
Fibonnacijev niz u prirodi
Fibonaccijev niz se često povezuje i s brojem zlatnog reza fi (phi, φ), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, 2, 3, 5, 8, te podijelimo li svaki sljedeći broj s njemu prethodnim, dobiveni broj težit će broju fi (3/2=1,5; 5/3=1,67; 8/5=1,6; ...; 39088169/24157817=1,618034). Broj 1,618 je fi zaokružen na 3 decimale (fi je iracionalan). Odnosi mjera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.
Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonaccijem i prirodom:
- U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi.
- Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema sljedećem dobili bi broj fi.
- Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi.
- Izmjerimo li čovječju dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobijamo broj fi.