Fibonaccijev broj

Fibonaccijevi brojevi oblikuju niz definiran sljedećom rekurzivnom relacijom:

$F(n):={\begin{cases}0&{\mbox{ako je }}n=0;\\1&{\mbox{ako je }}n=1;\\F_{n-1}+F_{n-2}\!\,&{\mbox{ako je }}n>1.\\\end{cases}}$

Dakle, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Primjerice, $2+3$ dat će $5$, $3+5$ dat će $8$, itd.

Prvi Fibonaccijevi brojevi, također označeni kao $F_{n}$, za $n=0,1,2,...$ su redom $1,1,2,3,5,8,13,21,...$

Treba napomenuti da Fibonaccijev niz ipak može početi i s $F_{1}=1$ umjesto s $F_{0}=0,$ no to često nije bitno u konkretnim razmatranjima svojstava tog niza.

Popločanje s kvadratima čije su stranice po duljini sukcesivni Fibonaccijevi brojevi

Fibonaccijeva spirala, stvorena iscrtavanjem lukova koji spajaju suprotne kuteve kvadrata u Fibonaccijevom popločanju prikazanom gore – vidjeti zlatna spirala.

Fibonaccijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u Indiji.

Osnovna svojstva

Svaka dva uzastopna broja Fibonaccijeva broja su relativno prosta. Dokažimo to. Pretpostavimo da je $(F_{n-1},F_{n})=d.$ No, onda je $d|F_{n-1}-F{n}=F_{n-2}.$ Analogno, $d|F_{n-3},F_{n-4},...,F_{1}=1$ što povlači $d=1.$

Vrijedi $F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}[{({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})}^{n}-{({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}})}^{n}].$ Ovo se važno svojstvo Fibonaccijevih brojeva naziva Binetova formula.

Vrijedi $F_{n-1}F_{n}=F_{n+1}^{2}+(-1)^{n}.$ Ovo se pravilo naziva Cassinijev identitet.

Povezanost sa zlatnim rezom

Ako imamo dvije dužine, jednu dužu i jednu kraću te ako je omjer duljina duže na prema kraćoj dužini jednak zlatnom rezu ($\approx 1.618$), tada je zlatnom rezu jednak i omjer zbroja duljina duže i kraće dužine na prema duljini kraće.

Vidjet ćemo da se slična relacija može naći u omjerima triju uzastopnih Fibonaccijevih broja, $F_{n-1},F_{n},F_{n+1}.$ Naime, iz Cassinijevog identiteta dijeljenjem obje strane s $F_{n-1}F_{n},$ slijedi ${\frac {F_{n}}{F_{n-1}}}={\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}+{\frac {(-1)^{n}}{F_{n-1}F_{n}}}.$

Kada $n\rightarrow \infty$ možemo zanemariti drugi pribrojnik pa dobivamo ${\frac {F_{n}}{F_{n-1}}}={\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$ što zadovoljava povijesnu (geometrijsku) definiciju zlatnog reza navedenu gore.

Varijacije Fibonaccijevog niza

Možemo konstruirati nove nizove za koje neće nužno vrijediti $F_{1}=F_{2}=1$ kao što to vrijedi za Fibobaccijev niz. No, željet ćemo da osnovno pravilo, odnosno identitet, $F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1}$ vrijedi za sve te nizove. Takve nizove jednim imenom nazivamo generalizirani Fibonaccijevi nizovi.

Uočimo da je neki takav niz $a_{(F_{1},F_{2})}$ zadan ako su zadani $F_{1},F_{2}\in \mathbb {N} .$

No, dakako da $F_{1},F_{2}$ mogu biti negativni. Uočimo da će $F_{n}\rightarrow -\infty$ kada $n\rightarrow \infty$ samo ako je $F_{1},F_{2}<0$ ili bez smanjenja općenitosti (možemo permutirati $F_{1},F_{2}$) kada je $|F_{1}|>|F_{2}|,F_{1}<0,F_{2}>0.$

Primjeri

Ovdje su primjeri takvih nizova: $a_{(5,5)}=5,5,10,15,35,...$, $a_{(3,8)}=3,8,11,19,...$, no možemo formirati niz za koji vrijedi $F_{2}<F_{2}$ kao npr. $a_{(4,2)}=4,2,6,8,...$

Lucasovi brojevi

Za $F_{1}=2,F_{2}=1$ dobivamo niz tzv. Lucasovih brojeva nazvanih po francuskom matematičaru Françoisu Édouardu Anatoleu Lucasu (1842. - 1891.).

Evo prvih nekoliko članova tog niza: $2,1,3,4,7,11,...$

Trojke generaliziranog Fibonaccijevog niza

Tri utastopna člana $F_{n},F_{n+1},F_{n+2}$ Fibonaccijevog niza zajednički zovemo trojka generaliziranog Fibobaccijevog niza. Uočimo da za $n\in \{2,3,...\}$ vrijedi $F_{n}<F_{n+1}<F_{n+2}.$ (Za $n=1$ sustav nejednakosti $F_{n}<F_{n+1}<F_{n+2}$ ipak ne vrijedi ako niz počinje s $F_{2}\leq F_{1}.$)

Dakle, intuitivno je da vrijedi $F_{n}F_{n+2}\approx F_{n+1}F_{n+1}.$ Označimo s $D=F_{n}F_{n+2}-F_{n+1}F_{n+1}.$

Pretpostavimo sada da su $F_{1}\leq F_{2}$ dva početna broja niza za kojeg vrijedi osnovna relacija iz Fibonaccijevog niza.

Hoće li umnožak prvog i trećeg člana, $F_{n}\cdot F_{n+2}$, neke trojke biti veći za 1 odnosno manji za 1 od kvadrata srednjeg člana, $F_{n+1}$, te trojke isključivo ovisi o razlici $d$ prvog i drugog člana tog niza, $d=F_{2}-F_{1}$.

Ispišimo prvih nekoliko članova tog niza: $F_{1}=x,F_{2}=x+d,F_{3}=2x+d,F_{4}=3x+2d,...$

Slučaj 1., $F_{1}=F_{2}$

Ovdje će vrijediti $F_{n}F_{n+2}=F_{n+1}F_{n+1}+(-1)^{n}F^{2},$ tj. vrijedit će $D=F^{2}$ ako je $n$ paran, odnosno $D=-d^{2}$ ako je neparan. (1)

Dokaz. Uočimo da je $d=0.$ Ispišimo nekoliko članova ovog niza: $x,x,x+x,(x+x)+x,...=x,x,2x,3x,...$ Za prvu trojku $T_{1}=(x,x,x+x)$ vrijedi (1) jer je $D=(x+x)x-xx=xx=x^{2}=F^{2}.$ Za sljedeću trojku $T_{2}=(x,2x,3x)$ računamo $D=((x+x)+x)x-(x+x)(x+x),$ odakle je $D=-xx=-F^{2}.$ Slično se provjeri za $T_{3}=(2x,3x,5x)$ pa se (1) lako dokaže matematičkom indukcijom.

Dakle, vrijedit će $D(T_{1})=F^{2},D(T_{2})=-F^{2},D(T_{3})=F^{2},...$

Slučaj 2., $F_{1}<F_{2}$

Slično se dokazuje da u ovom slučaju vrijedi $D=F_{1}^{2}-(F_{1}+d)d.$ Odavde vidimo da ako je $d<F_{1}$ će biti $D(T_{2k-1})>0,D(T_{2k})<0$ za $k\in \mathbb {N}$, a ako je $d>F_{1}$ vrijedit će obratno.

Fibonnacijev niz u prirodi

Fibonaccijev niz se često povezuje i s brojem zlatnog reza fi (phi, $\varphi$), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, $2,3,5,8,$ te podijelimo li svaki sljedeći broj s njemu prethodnim, dobiveni broj težit će broju fi: ${\frac {3}{2}}=1,{\frac {5}{3}}=1.67,{\frac {8}{5}}=1.6,$ itd. Broj $1,618$ je fi zaokružen na tri decimale (fi je iracionalan). Odnosi mjera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.

Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonaccijem i prirodom:

1. U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi.
2. Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema sljedećem dobili bi broj fi.
3. Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi.
4. Izmjerimo li čovječju dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobijamo broj fi.

Izvori

Nedovršeni članak Fibonaccijev broj koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.