Fibonaccijevi brojevi oblikuju niz definiran sljedećom rekurzivnom relacijom:

Dakle, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Primjerice,
dat će
,
dat će
, itd.
Prvi Fibonaccijevi brojevi, također označeni kao
, za
su redom
Treba napomenuti da Fibonaccijev niz ipak može početi i s
umjesto s
no to često nije bitno u konkretnim razmatranjima svojstava tog niza.
Popločanje s kvadratima čije su stranice po duljini sukcesivni Fibonaccijevi brojevi
Fibonaccijeva spirala, stvorena iscrtavanjem lukova koji spajaju suprotne kuteve kvadrata u Fibonaccijevom popločanju prikazanom gore – vidjeti
zlatna spirala.
Fibonaccijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u Indiji.[1][2]
Svaka dva uzastopna broja Fibonaccijeva broja su relativno prosta. Dokažimo to. Pretpostavimo da je
No, onda je
Analogno,
što povlači
Vrijedi
Ovo se važno svojstvo Fibonaccijevih brojeva naziva Binetova formula.
Vrijedi
Ovo se pravilo naziva Cassinijev identitet.
Povezanost sa zlatnim rezom[uredi | uredi kôd]
Ako imamo dvije dužine, jednu dužu i jednu kraću te ako je omjer duljina duže na prema kraćoj dužini jednak zlatnom rezu (
), tada je zlatnom rezu jednak i omjer zbroja duljina duže i kraće dužine na prema duljini kraće.
Vidjet ćemo da se slična relacija može naći u omjerima triju uzastopnih Fibonaccijevih broja,
Naime, iz Cassinijevog identiteta dijeljenjem obje strane s
slijedi
Kada
možemo zanemariti drugi pribrojnik pa dobivamo
što zadovoljava povijesnu (geometrijsku) definiciju zlatnog reza navedenu gore.
Varijacije Fibonaccijevog niza[uredi | uredi kôd]
Možemo konstruirati nove nizove za koje neće nužno vrijediti
kao što to vrijedi za Fibobaccijev niz. No,
željet ćemo da osnovno pravilo, odnosno identitet,
vrijedi za sve te nizove. Takve nizove jednim imenom nazivamo generalizirani Fibonaccijevi nizovi.
Uočimo da je neki takav niz
zadan ako su zadani
No, dakako da
mogu biti negativni. Uočimo da će
kada
samo ako je
ili bez smanjenja općenitosti (možemo permutirati
) kada je
Ovdje su primjeri takvih nizova:
,
,
no možemo formirati niz za koji vrijedi
kao npr.
Za
dobivamo niz tzv. Lucasovih brojeva nazvanih po francuskom matematičaru Françoisu Édouardu Anatoleu Lucasu (1842. - 1891.).
Evo prvih nekoliko članova tog niza:
Trojke generaliziranog Fibonaccijevog niza[uredi | uredi kôd]
Tri utastopna člana
Fibonaccijevog niza zajednički zovemo trojka generaliziranog Fibobaccijevog niza. Uočimo da za
vrijedi
(Za
sustav nejednakosti
ipak ne vrijedi ako niz počinje s
)
Dakle, intuitivno je da vrijedi
Označimo s
Pretpostavimo sada da su
dva početna broja niza za kojeg vrijedi osnovna relacija iz Fibonaccijevog niza.
Hoće li umnožak prvog i trećeg člana,
, neke trojke biti veći za 1 odnosno manji za 1 od kvadrata srednjeg člana,
, te trojke isključivo ovisi o razlici
prvog i drugog člana tog niza,
.
Ispišimo prvih nekoliko članova tog niza:
Slučaj 1.,
[uredi | uredi kôd]
Ovdje će vrijediti
tj. vrijedit će
ako je
paran, odnosno
ako je neparan. (1)
Dokaz.
Uočimo da je
Ispišimo nekoliko članova ovog niza:
Za prvu trojku
vrijedi (1) jer je
Za sljedeću trojku
računamo
odakle je
Slično se provjeri za
pa se (1) lako dokaže matematičkom indukcijom.
Dakle, vrijedit će
Slučaj 2.,
[uredi | uredi kôd]
Slično se dokazuje da u ovom slučaju vrijedi
Odavde vidimo da ako je
će biti
za
, a ako je
vrijedit će obratno.
Fibonnacijev niz u prirodi[uredi | uredi kôd]
Fibonaccijev niz se često povezuje i s brojem zlatnog reza fi (phi,
), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza,
te podijelimo li svaki sljedeći broj s njemu prethodnim, dobiveni broj težit će broju fi:
itd. Broj
je fi zaokružen na tri decimale (fi je iracionalan). Odnosi mjera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.
Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonaccijem i prirodom:
- U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi.
- Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema sljedećem dobili bi broj fi.
- Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi.
- Izmjerimo li čovječju dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobijamo broj fi.
- ↑ Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.ISSN 0047-6269]
- ↑ Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985
Nedovršeni članak Fibonaccijev broj koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.