Fibonaccijev broj

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje

Fibonaccijevi brojevi oblikuju niz definiran sljedećom rekurzivnom relacijom:

Dakle, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Primjerice, dat će , dat će , itd.

Prvi Fibonaccijevi brojevi, također označeni kao , za su redom

Treba napomenuti da Fibonaccijev niz ipak može početi i s umjesto s no to često nije bitno u konkretnim razmatranjima svojstava tog niza.

Popločanje s kvadratima čije su stranice po duljini sukcesivni Fibonaccijevi brojevi
Fibonaccijeva spirala, stvorena iscrtavanjem lukova koji spajaju suprotne kuteve kvadrata u Fibonaccijevom popločanju prikazanom gore – vidjeti zlatna spirala.

Fibonaccijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u Indiji.[1][2]

Osnovna svojstva[uredi | uredi kôd]

Svaka dva uzastopna broja Fibonaccijeva broja su relativno prosta. Dokažimo to. Pretpostavimo da je No, onda je Analogno, što povlači

Vrijedi Ovo se važno svojstvo Fibonaccijevih brojeva naziva Binetova formula.

Vrijedi Ovo se pravilo naziva Cassinijev identitet.

Povezanost sa zlatnim rezom[uredi | uredi kôd]

Ako imamo dvije dužine, jednu dužu i jednu kraću te ako je omjer duljina duže na prema kraćoj dužini jednak zlatnom rezu (), tada je zlatnom rezu jednak i omjer zbroja duljina duže i kraće dužine na prema duljini kraće.

Vidjet ćemo da se slična relacija može naći u omjerima triju uzastopnih Fibonaccijevih broja, Naime, iz Cassinijevog identiteta dijeljenjem obje strane s slijedi

Kada možemo zanemariti drugi pribrojnik pa dobivamo što zadovoljava povijesnu (geometrijsku) definiciju zlatnog reza navedenu gore.

Varijacije Fibonaccijevog niza[uredi | uredi kôd]

Možemo konstruirati nove nizove za koje neće nužno vrijediti kao što to vrijedi za Fibobaccijev niz. No, željet ćemo da osnovno pravilo, odnosno identitet, vrijedi za sve te nizove. Takve nizove jednim imenom nazivamo generalizirani Fibonaccijevi nizovi.

Uočimo da je neki takav niz zadan ako su zadani

No, dakako da mogu biti negativni. Uočimo da će kada samo ako je ili bez smanjenja općenitosti (možemo permutirati ) kada je

Primjeri[uredi | uredi kôd]

Ovdje su primjeri takvih nizova: , , no možemo formirati niz za koji vrijedi kao npr.

Lucasovi brojevi[uredi | uredi kôd]

Za dobivamo niz tzv. Lucasovih brojeva nazvanih po francuskom matematičaru Françoisu Édouardu Anatoleu Lucasu (1842. - 1891.).

Evo prvih nekoliko članova tog niza:

Trojke generaliziranog Fibonaccijevog niza[uredi | uredi kôd]

Tri utastopna člana Fibonaccijevog niza zajednički zovemo trojka generaliziranog Fibobaccijevog niza. Uočimo da za vrijedi (Za sustav nejednakosti ipak ne vrijedi ako niz počinje s )

Dakle, intuitivno je da vrijedi Označimo s

Pretpostavimo sada da su dva početna broja niza za kojeg vrijedi osnovna relacija iz Fibonaccijevog niza.

Hoće li umnožak prvog i trećeg člana, , neke trojke biti veći za 1 odnosno manji za 1 od kvadrata srednjeg člana, , te trojke isključivo ovisi o razlici prvog i drugog člana tog niza, .

Ispišimo prvih nekoliko članova tog niza:

Slučaj 1., [uredi | uredi kôd]

Ovdje će vrijediti tj. vrijedit će ako je paran, odnosno ako je neparan. (1)

Dokaz. Uočimo da je Ispišimo nekoliko članova ovog niza: Za prvu trojku vrijedi (1) jer je Za sljedeću trojku računamo odakle je Slično se provjeri za pa se (1) lako dokaže matematičkom indukcijom.

Dakle, vrijedit će

Slučaj 2., [uredi | uredi kôd]

Slično se dokazuje da u ovom slučaju vrijedi Odavde vidimo da ako je će biti za , a ako je vrijedit će obratno.

Fibonnacijev niz u prirodi[uredi | uredi kôd]

Fibonaccijev niz se često povezuje i s brojem zlatnog reza fi (phi, ), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, te podijelimo li svaki sljedeći broj s njemu prethodnim, dobiveni broj težit će broju fi: itd. Broj je fi zaokružen na tri decimale (fi je iracionalan). Odnosi mjera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.

Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonaccijem i prirodom:

  1. U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi.
  2. Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema sljedećem dobili bi broj fi.
  3. Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi.
  4. Izmjerimo li čovječju dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobijamo broj fi.

Izvori[uredi | uredi kôd]

  1. Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.ISSN 0047-6269]
  2. Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985


P math.png Nedovršeni članak Fibonaccijev broj koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.