Kvadratni korijen

Kvadratni korijen od i

Kvadratni korijen matematička je operacija inverzna kvadriranju. Oznaka ove operacije nad nekim brojem x je:

${\sqrt {x}}$, i čita se kao „korijen iz x“.

Potpuno ispravno bilo bi pisati i ${\sqrt[{2}]{x}}$ te izgovarati „kvadratni korijen od x“, međutim to se rjeđe radi iz razloga, što se najveći broj slučajeva odnosi na kvadratni korijen, pa se ustalio kraći izgovor i jednostavniji zapis.

Definicija

Ova operacija definira se sljedećom relacijom:

Kvadratni korijen broja x je ne-negativan broj, koji pomnožen sam sa sobom daje x.

Na primjer, ${\sqrt {9}}=3$ pošto je $3^{2}=3\cdot 3=9\,$.

Primjer pokazuje kako se kvadratni korijen pojavljuje prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe $x^{2}=9\,$.

Općenito kvadratna jednadžba ima oblik $ax^{2}+bx+c=0\,$ i za njeno rješavanje neophodna je primjena kvadratnoga korijena.

Osobine

• Glavna vrijednost kvadratnoga korijena je funkcija $f(x)={\sqrt {x}}$ koja preslikava skup ne-negativnih realnih brojeva $\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}$ na samu sebe.

Opširnije

Kvadratni korijen prirodnog broja često je iracionalan broj tj. broj koga nije moguće zapisati u obliku razlomka. Na primjer ${\sqrt {2}}\,$ ne se može zapisati kao m/n, gdje su n i m prirodni brojevi. Međutim, toliko točno iznosi dužina dijagonale kvadrata čija je dužina stranice jednaka 1.

Otkriće činjenice da je ${\sqrt {2}}\,$ iracionalan pripisuje se Hipasu, Pitagorinom učeniku.

Oznaka, simbol, za kvadratni korijen (${\sqrt {\ }}$) prvi put je upotrijebljena u 16. stoljeću. Skoro je sigurno, da je proizašlo iz prilagođenoga ispisa malog latiničnog slova r, što je skraćenica od (lat. radix) što znači „korijen”.

Argument i vrijednost

Da bi rezultat korijenovanja bio realan broj, argument operacije x mora biti ne-negativan broj. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja, npr. rješenja jednadžbe $x^{2}=9\,$ su $x=3$ i $x=-3$, jer je $3^{2}=9$ i $(-3)^{2}=9$, što se kraće može zapisati kao $x=\pm 3$.

Za negativne brojeve nije moguće naći realan kvadratni korijen. Zato je uveden pojam imaginarnoga i kompleksnoga broja, pa je matematički moguće izračunati odnosno predstaviti i takve brojeve.

${\sqrt {-1}}=i$

${\sqrt {-25}}={\sqrt {-1\cdot 25}}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {25}}=5i$

Heronov algoritam

Jedan od najstarijih metoda, odnosno algoritama za računanje kvadratnog korijena pripisuje se starogrčkom matematičaru Heronu iz Aleksandrije. Ponegdje se naziva i babilonskom metodom.

Kako bi odredili r, kvadratni korijen realnog broja x:

1. Počnemo sa proizvoljnom pozitivnom početnom vrijednosti r (što je bliža kvadratnom korijenu od x, to je bolje).
2. Zamijenimo r sa srednjom vrijednosti između r i x/r, to jest: $\scriptstyle (r+x/r)/2\,$ (Dovoljno je uzeti aproksimativnu vrijednost srednje vrijednosti kako bi se osigurala konvergencija).
3. Ponavljamo korak 2 sve dok r i x/r nisu blizu po našoj želji ili potrebi.