Polje (matematika)

U apstraktnoj algebri, polje je algebarska struktura u kojoj se mogu izvoditi operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja (osim dijeljenja s nulom), i gdje vrijede poznata pravila iz aritmetike običnih brojeva.

Sva polja su prsteni, ali ne obratno. Polja se razlikuju od prstena po tome što se traži da je dijeljenje moguće, a u današnje vrijeme, također i po tome da operacija množenja u polju bude komutativna. Inače je struktura tzv. prsten s dijeljenjem, iako su se povijesno prsteni s dijeljenjem nazivali polja, a polja su bila komutativna polja.

Osnovni primjer polja je $\mathbb{Q}$, polje racionalnih brojeva. Ostali važni primjeri uključuju polje realnih brojeva $\mathbb{R}$, polje kompleksnih brojeva $\mathbb{C}$ i, za bilo koji prost broj p, konačno polje cijelih brojeva modulo p, oznaka $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Za bilo koje polje K, skup K(X), tj. skup racionalnih funkcija s koeficijentima iz K je također polje.

Matematička disciplina koja se bavi proučavanjem polja se naziva teorija polja.

Ekvivalentne definicije

Definicija 1

Polje je komutativan prsten s dijeljenjem.

Definicija 2

Polje je komutativni prsten ($\mathbb{F}$, +, *) takav da je 0 različito od 1 i da svi elementi od $\mathbb{F}$ osim nule imaju inverz za množenje. (Važno je primjetiti da 0 i 1 ovdje redom označavaju neutralne elemente za operacije + i *, te se mogu razlikovati od poznatih realnih brojeva 0 i 1).

Definicija 3

Eksplicitno, polje je definirano sljedećim svojstvima:

Zatvorenost od $\mathbb{F}$ za + i * 

$\forall a, b \in \mathbb{F}$, $a + b \in \mathbb{F}$ i $a * b \in \mathbb{F}$ (ili formalnije, + i * su binarne operacije na F).

+ i * su asocijativne operacije 

$\forall a, b, c \in \mathbb{F}$, $a + (b + c) = (a + b) + c$ i $a * (b * c) = (a * b) * c$.

+ i * su komutativne operacije 

$\forall a, b \in \mathbb{F}$, $a + b = b + a$ i $a * b = b * a$.

Vrijedi distributivnost operacije * prema + 

$\forall a, b, c \in \mathbb{F}$, $a * (b + c) = (a * b) + (a * c)$.

Postojanje neutralnog elementa za zbrajanje 

$\exists 0 \in \mathbb{F}$ takav da je $\forall a \in \mathbb{F}$, $a + 0 = 0 + a = a$.

Postojanje neutralnog elementa za množenje 

$\exists 1 \in \mathbb{F}$ takav da je $\forall a \in \mathbb{F}$, $a * 1 = 1 * a = a$.

Postojanje inverza za zbrajanje 

$\forall a \in \mathbb{F}$$\exists -a \in \mathbb{F}$, takav da je $a + (-a) = -a + a = 0$.

Postojanje inverza za množenje 

$\forall a \in \mathbb{F}, a \neq 0$, $\exists a^{-1} \in \mathbb{F}$, takav da je $a * a^{-1} = a^{-1} * a = 1$.

Uvjet da je 0 ≠ 1 osigurava da skup koji sadrži samo jedan element nije polje. Izravno iz aksioma se može pokazati da su ($\mathbb{F}$, +) i
($\mathbb{F}\setminus \{0\}$, *) komutativne grupe (abelove grupe, i tada su aditivni inverz −a i multiplikativni inverz a⁻¹ jedinstveno određeni s a. Ostala korisna pravila uključuju:

−a = (−1) * a

i općenitije

−(a * b) = (−a) * b = a * (−b),

kao i

a * 0 = 0.

Primjeri

• Kompleksni brojevi $\mathbb{C}$, s uobičajenim operacijama zbrajanja i množenja. Polje kompleksnih brojeva sadrži sljedeća podpolja:
• Racionalni brojevi $\mathbb{Q} = \{ \frac{a}{b}$ | $a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \}$, gdje je $\mathbb{Z}$ skup cijelih brojeva. Polje racionalnih brojeva nema pravih podpolja.