Prsten (matematika)

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Prsten je bilo koji neprazan skup R zajedno s dvjema binarnim operacijama + (zbrajanje elemenata prstena) i · (množenje elemenata prstena) tako da vrijedi:

1) (R, +) je abelova grupa, tj. ∀ a, b, cR vrijedi:

  • asocijativnost zbrajanja:
(a + b) + c = a + (b + c)
  • neutralni element za zbrajanje
(∃ 0)(0 ∈ R) takav da je a + 0 = 0 + a = a
  • ∀ a∈R ∃ suprotni element -a∈R takav da je
a + (-a) = (-a) + a = 0
  • komutativnost zbrajanja
a + b = b + a

2) (R, ·) je polugrupa, tj. množenje na R je asocijativno

(ab)c = a(bc)

3) operacije zbrajanja i množenja su međusobno usklađene zakonima distribucije:

a, b, cR vrijedi :
a(b + c)= ab + ac i (a + b)c = ac + bc

Primjeri[uredi VE | uredi]

  • Trivijalni prsten {0} ima samo jedan element koji je neutralni element i za zbrajanje i za množenje
  • Prsten cijelih brojeva s operacijama zbrajanja i množenja je komutativan prsten
  • Gaussovi cijeli brojevi tvore prsten.
  • Prsten polinoma R[X] s koeficijentima iz prstena R je također prsten.
  • Primjer nekomutativnog prstena: Za bilo koji prsten R i proizvoljan prirodan broj n, skup svih kvadratnih n×n matrica s koeficijentima iz R, tvori prsten s operacijama zbrajanja i množenja matrica kao pripadnim operacijama. Za n = 1, ovaj prsten matrica je (izomorfan s) R. Za n ≥ 2, ovaj prsten matrica je primjer nekomutativnog prstena (osim ako je R trivijalan prsten).
  • Primjer konačnog prstena: Ako je n pozitivan cijeli broj, onda skup \mathbb{Z}_{n} = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} cijelih brojeva modulo n (koji je kao aditivna grupa ciklička grupa reda n) tvori prsten s n elemenata.

Osnovni teoremi[uredi VE | uredi]

Iz aksioma se izravno može zaključiti da ako je R prsten, \forall a, b \in R imamo:

  • 0 \cdot a = a \cdot 0 = 0
  • (-1)\cdot a = -a
  • (-a)\cdot b = a\cdot (-b)
  • (a\cdot b)^{-1} = b^{-1}\cdot a^{-1}, pod uvjetom da su i a i b invertibilni.

Ostali osnovni teoremi:

  • Neutralni element 1 je jedinstven
  • Ako element prstena ima inverz za množenje, onda je taj inverz jedinstven.
  • Ako prsten ima barem dva elementa, onda je 0 ≠ 1