Riemannova zeta-funkcija

Riemannova zeta-funkcija u kompleksnoj ravnini

Riemannova zeta-funkcija za realni s > 1

U matematici, Riemannova zeta-funkcija, nazvana po Bernhardu Riemannu, je važna funkcija u teoriji brojeva zbog veze s teoremom o raspodjeli prim-brojeva. Također se primjenjuje u fizici, teoriji vjerojatnosti, i primjenjenoj statistici.

Definicija

Funkcija ζ(s) je funkcija kompleksne varijable s i najprije se definirala sljedećom beskonačnom sumom:

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$

Leonhard Euler je otkrio vezu zeta-funkcije i raspodjele prim-brojeva:

$\begin{align} \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}& = \prod_{p \text{ prim}} \frac{1}{1-p^{-s}} \\ & = \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots, \end{align}$

gdje, po definiciji, lijeva strana je ζ(s) a beskonačni produkt na desnoj strani je po svim prim-brojevima p.

Zeta-funkcija daje sljedeće vrijednosti za neke odabrane brojeve:

$\zeta(0) = -1/2$

$\zeta(1/2) \approx -1.4603545088095868$

$\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty$; (harmonički niz)

$\zeta(3/2) \approx 2.612$; koristi se za računanje kritične temperature Bose–Einsteinovog kondenzata u fizici.

$\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645$; dokaz ove jednakosti je tzv. Bazelski problem.

$\zeta(5/2) \approx 1.341$

$\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx 1.202$; tzv. Apéryjeva konstanta

$\zeta(7/2) \approx 1.127$

$\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} \approx 1.0823$

Poznato je da zeta-funkcija ima nultočke -2, -4, -6... One se nazivaju trivijalnima. Hipoteza da sve ostale (kompleksne) nultočke imaju realni dio jednak 1/2 je poznata kao Riemannova hipoteza i do sada nije riješena.

Vidi još

• prim-brojevi
• Leonhard Euler
• Bernhard Riemann

Literatura

• Bernhard Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (1859). In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
• Jacques Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Societé Mathématique de France 14 (1896) pp 199-220.
• Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 pp 458-464. (Globally convergent series expression.)
• E. T. Whittaker and G. N. Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press (Chapter XIII).

Vanjske poveznice

• Riemann Zeta Function, in Wolfram Mathworld - objašnjenje koje koristi matematički pristup (eng.)
• Tablica odabranih nultočki
• [1](!! kliknite na tipku on Download Now...!!) Spis sadrži 1000000 nultočki s ciše od 60 točnih znamenki
• Prime Numbers Get Hitched općenito o važnosti prim-brojeva, za nestručnu publiku (eng.)