Krivulje drugog reda

Izvor: Wikipedija
(Preusmjereno s Čunosječnica)
Jump to navigation Jump to search
Vrste krivulja drugog reda:
1. parabola,
2. kružnica (dolje) i elipsa (gore),
3. hiperbola.
Presjeci stošca ravninom mogu biti krug, elipsa, parabola ili hiperbola.

Krivulje drugog reda, konike (prema konus) ili čunjosječnice su algebarske ravninske krivulje drugoga reda nastale presjekom ravnine i kružne dvostruke stožaste plohe. To su kružnica, elipsa, parabola i hiperbola, te njihove degeneracije: par ukrštenih pravaca (ako presječna ravnina prolazi kroz vrh stošca), odnosno par usporednih pravaca (ako se vrh stošca pomakne u beskonačnost). Koja od krivulja će nastati ovisi o kutu koji ravnina zatvara s osi i izvodnicom stošca.

U pravokutnom Kartezijevu koordinatnom sustavu konike su određene općom jednadžbom:

Na primjer ako je A = C i B = 0, jednadžba opisuje kružnicu.

Konike su određene s 5 točaka. Ako 3 točke konike leže na istom pravcu, konika je degenerirana. Po takvim se krivuljama gibaju nebeska tijela manje mase u gravitacijskome polju nebeskog tijela veće mase. [1]

Uvjet A2 + B 2 +C2 ≠ 0 označava da je lijeva strana polinom drugog stupnja s varijablama x, y.

Svojstva konika:

konika normalna jednadžba numerički ekscentricitet ε linearni ekscentricitet e
kružnica
elipsa
parabola -
hiperbola

Kružnica[uredi VE | uredi]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Kružnica
Neka je r > 0 i S točka u ravnini. Kružnica radijusa r sa središtem u S je skup točaka te ravnine od kojih je svaka od njih za r udaljena od S. Ako je u koordinantnom sustavu x0y točka S (x0, y0) onda jednadžba kružnice glasi

(x-x0) 2 - (y -y2) 2 =r 2

Za (x0, y0) = (0,0) imamo kružnicu sa centrom u koordinantnom početku i radijusom r koja glasi

x2 - y 2 = r 2

Jednadžba x2 - y 2 =0 predstavlja točku (0, 0).

Elipsa[uredi VE | uredi]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Elipsa
Neka je 2a> 0 realan broj ,F1 i F2 različite točke ravnine čija je udaljenost

│F1 F2│ = 2e < 2a.

Elipsa sa žarištima u F1 i F2 je skup točaka ravni sa osobinom da za svaku tačku skupa vrijedi

F1T + F2 T= 2 a

Ako točke F1 i F2 leže na x osi sustava x0y i imaju koordinate F1( -e,0) i F2 ( e ,0) jednadžba elipse glasi

b2 x2 + a2 y 2 = a2b 2

Hiperbola[uredi VE | uredi]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Hiperbola
Neka je 2a< 2e realan broj , F1 i F2različite točke ravnine čija je udaljenost

F1 F2= 2a < 2e.

Hiperbola sa žarištima F1 i F2je skup točaka ravnine sa osobinom da za svaku točku T tog skupa vrijedi

F1T - F2 T= 2 a

Za F1 ( -e, 0) i F2 (e , 0) vrijedi

b2 x2- a2 y 2 = a2b 2

Parabola[uredi VE | uredi]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Parabola
Neka su u ravni zadani pravac i točka van tog pravca. Parabola je skup točaka te ravni od kojih je svaka udaljena od zadanog pravca isto koliko i od zadane točke. Dana točka je žarište, a prava ravnalica parabole.

Ako je p udaljenost od ravnalice , a žarište u sustavu x0y i ima koordinate (0, p/2) jednadžba parabole glasi

y2 = 2px

Izvori[uredi VE | uredi]

  1. konike (čunjosječnice), [1] "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2018.