Jedinična kružnica

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje
Koordinate na jediničnoj kružnici

Jedinična, brojevna ili trigonometrijska kružnica definirana je kao kružnica sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava (0,0) i polumjerom (radijusom) 1. Jedinična kružnica siječe x-os u točkama i i y-os u točkama i .

Ortogonalna projekcija točke na x-os je , a na y-os . Dužine i su katete pravokutnog trokuta čije su dužine x i y.

je horizontalna, a vertikalna dužina. Kut  je u standardnom položaju. Prema definicijama funkcija sinus i kosinus dobivamo sljedeće jednakosti:

Ako su (x, y) točke na kružnici u prvom kvadrantu, onda su x i y katete pravokutnog trokuta (isječci na x i y osi, respektivno) čija je hipotenuza (polumjer) 1. Prema Pitagorinom poučku x i y zadovoljavaju jednadžbu

S obzirom da je  prethodna jednadžba vrijedi za sve točke (x, y) na jediničnoj kružnici, a ne samo za prvi kvadrant.

Trigonometrijske funkcije[uredi VE | uredi]

Trigonometrijske funkcije na jediničnoj kružnici (Animacija)

Uz pomoć trigonometrijskih funkcija kod pravokutnih trokuta mogu se prikazati odnosi između koordinata i kutova na jediničnoj kružnici. Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus mogu se na jediničnoj kružnici definirati na sljedeći način: ako je (x, y) točka na jediničnoj kružnici i ako dužina od ishodišta do točke (x,y) čini kut t sa pozitivnim dijelom x-osi (u smjeru suprotnim od smjera kazaljke na satu), tada vrijedi:

Jednadžba  daje poznatu relaciju

α sin α cos α tg α cotg α
1. kvadrant 0–90° + + + +
2. kvadrant 90–180° +
3. kvadrant 180–270° + +
4. kvadrant 270–360° +

Jedinična kružnica također daje uvid da su sinus i kosinus periodične funkcije jednakostima:

za svaki cijeli broj k.

Ove jednakosti polaze od činjenice da x i y koordinate točke na krugu ostaju iste ako kut t napravi bilo koji broj okreta (1 okret = radijana).

Pri radu s pravokutnim trokutima, sinus i kosinus, kao i ostale trigonometrijske funkcije imaju smisla samo ako je kut veći od 0 i manji od . Koristeći jediničnu kružnicu, ove funkcije dobivaju smisao za bilo koju realnu vrijednost kuta. Ako je točka A točka jedinične kružnice onda su njene koordinate

Rational parameterization of unit circle.svg

Druge tačke su određene koordinatama

Zamjenom dobivamo pitagorine trojke .

Kompleksna ravnina[uredi VE | uredi]

U kompleksnoj ravnini jedinična kružnica predstavljena je skupom

Vidi i:[uredi VE | uredi]

Izvori[uredi VE | uredi]