Divergencija polja

U vektorskoj analizi i teoriji polja, divergencija je veličina koja odražava svojstva polja po točkama u prostoru. Najviše se primjenjuje u fizici, pogotovo u elektromagnetizmu i hidrodinamici.

Definicija

Potražimo izdašnost vektorskog polja ${\overrightarrow {W}}$ u nekoj točki. Neka je $V$ obujam koji obuhvaća površina $S$. Jasno je da je srednja vrijednost "izdašnosti" u toj točki onda

${\frac {\int \limits _{S}{\overrightarrow {W}}\cdot d{\vec {S}}}{V}}.$

Pustimo li sada da se taj obujem smanjuje tako da $V\mapsto 0$, dobivamo graničnu vrijednost za točno određenu točku. Upravo taj izraz nazivamo divergencijom vektorskog polja:

$\operatorname {div} {\overrightarrow {W}}\;{\stackrel {\text{def.}}{=}}\lim _{V\mapsto 0}{\frac {\int {\overrightarrow {W}}\cdot d{\vec {S}}}{V}}=\lim _{\Delta V\mapsto 0}{\frac {\int {\overrightarrow {W}}\cdot d{\vec {S}}}{\Delta V}}.$

Svojstva

Očito je divergencija skalarna veličina (i brojnik i nazivnik su skalari!), što znači da je vektorsko polje preko divergencije povezano sa skalarnim poljem.

Isto tako, vidimo da je divergencija definirana bez ikakvog koordinatnog sustava. Dakle, divergencija je invarijanta polja. Stoga, nije važno polazi li radij-vektor iz ishodišta koordinatnog sustava ili ne, jer divergencija ne zavisi o koordinatnom sustavu.

Točke prostora gdje je $\operatorname {div} {\overrightarrow {W}}>0$ nazivamo izvorima, a točke gdje je $\operatorname {div} {\overrightarrow {W}}<0$ nazivamo ponorima.

Shematski prikaz uz izvod za divergenciju u pravokutnom koordinatnom sustavu

Divergencija u kartezijevom sustavu

Napišimo najprije izračun toka iz kvadra bridova $\Delta x,\Delta y,\Delta z$, kojem je jedan od vrhova na koordinatama $(x_{0},y_{0},z_{0})$:

${\int \limits _{S}{\overrightarrow {W}}\cdot d{\vec {S}}=\int \limits _{S_{1}}{\overrightarrow {W_{1}}}\cdot d{\overrightarrow {S_{1}}}+\int \limits _{S_{2}}{\overrightarrow {W_{2}}}\cdot d{\overrightarrow {S_{2}}}+\int \limits _{S_{3}}{\overrightarrow {W_{3}}}\cdot d{\overrightarrow {S_{3}}}+\int \limits _{S_{4}}{\overrightarrow {W_{4}}}\cdot d{\overrightarrow {S_{4}}}+\int \limits _{S_{5}}{\overrightarrow {W_{5}}}\cdot d{\overrightarrow {S_{5}}}+\int \limits _{S_{6}}{\overrightarrow {W_{6}}}\cdot d{\overrightarrow {S_{6}}}}=$

$=\int \limits _{S_{1}}{\overrightarrow {W}}(x_{0},y,z)\cdot (-{\hat {x}})dydz+\int \limits _{S_{2}}{\overrightarrow {W}}(x_{0}+\Delta x,y,z)\cdot {\hat {x}}dydz+$

$+\int \limits _{S_{3}}{\overrightarrow {W}}(x,y_{0},z)\cdot (-{\hat {y}})dxdz+\int \limits _{S_{4}}{\overrightarrow {W}}(x,y_{0}+\Delta y,z)\cdot {\hat {y}}dxdz+$

$+\int \limits _{S_{5}}{\overrightarrow {W}}(x,y,z_{0})\cdot (-{\hat {z}})dxdy+\int \limits _{S_{6}}{\overrightarrow {W}}(x,y,z_{0}+\Delta z)\cdot {\hat {z}}dxdy=$

$=\overbrace {\int {\Bigl [}W_{x}(x_{0}+\Delta x,y,z)-W_{x}(x_{0},y,z){\Bigr ]}} ^{{\frac {\partial W_{x}}{\partial x}}\cdot \Delta x}dydz+$

$+\int {\Bigl [}W_{y}(x,y_{0}+\Delta y,z)-W_{y}(x,y_{0},z){\Bigr ]}dxdz+$

$+\int {\Bigl [}W_{z}(x,y,z_{0}+\Delta z)-W_{z}(x,y,z_{0}){\Bigr ]}dxdy=$

${={\frac {\partial W_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x}}\cdot \Delta x\Delta y\Delta z+{\frac {\partial W_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial y}}\cdot \Delta x\Delta y\Delta z+{\frac {\partial W_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial z}}\cdot \Delta x\Delta y\Delta z=}$

$={\biggl (}{\frac {\partial W_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial W_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial W_{z}}{\partial z}}{\biggr )}\cdot \Delta V.$

Sada to uvrstimo u već poznati izraz za divergenciju:

$\operatorname {div} {\overrightarrow {W}}({\vec {r}})=\lim _{\Delta V\mapsto 0}{\frac {\int \limits _{\Delta V}{\overrightarrow {W}}\cdot d{\vec {S}}}{\Delta V}}={\frac {{\Bigl (}{\frac {\partial W_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial W_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial W_{z}}{\partial z}}{\Bigr )}\cdot \Delta V}{\Delta V}}$

$\operatorname {div} {\overrightarrow {W}}({\vec {r}})={\frac {\partial W_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial W_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial W_{z}}{\partial z}}.$

Upravo je ovaj izraz formalna definicija divergencije u kartezijevom koordinatnom sustavu. Očito divergenciju možemo simbolički pisati pomoću Hamiltonova operatora nabla:

$\operatorname {div} {\overrightarrow {W}}({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {W}}=\left({\hat {x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)(W_{x}\cdot {\hat {x}}+W_{y}\cdot {\hat {y}}+W_{z}\cdot {\hat {z}})={\frac {\partial W_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial W_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial W_{z}}{\partial z}}.$

Gaussov teorem

Za divergenciju vrijedi Gaussov teorem:

$\int \limits _{S}{\overrightarrow {W}}\cdot d{\vec {S}}=\int \limits _{V}\operatorname {div} {\overrightarrow {W}}dV.$

Divergencija u drugim koordinatnim sustavima

• u cilindričnom:

$\operatorname {div} {\overrightarrow {W}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho W_{\rho })+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial W_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial W_{z}}{\partial z}};$

• u sfernom:

$\operatorname {div} {\overrightarrow {W}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}W_{r})+{\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}(W_{\vartheta }\sin \vartheta )+{\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial W_{\varphi }}{\partial \varphi }}.$

Divergencija i algebarske operacije

Neka su dana vektorska polja ${\vec {u}}$ i ${\vec {v}}$, skalar $U$, skalarna funkcija $f(U)$ i radij-vektor ${\vec {r}}$. Tada vrijedi:

1. $\operatorname {div} ({\vec {u}}+{\vec {v}})=\operatorname {div} {\vec {u}}+\operatorname {div} {\vec {v}}$
2. $\operatorname {div} (U\cdot {\vec {v}})=U\cdot \operatorname {div} {\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot \operatorname {grad} U$
3. $\operatorname {div} [f(U)\cdot {\vec {v}}]=f(U)\cdot \operatorname {div} {\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot f_{U}^{'}(U)\cdot \operatorname {grad} U$
4. $\operatorname {div} {\vec {r}}=3.$

Primjer

Divergencija elektrostatskog polja točkastog naboja,

${\overrightarrow {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{3}}}{\vec {r}}$

iznosi

${\operatorname {div} {\overrightarrow {E}}=\operatorname {div} \left({\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{3}}}{\vec {r}}\right){\stackrel {(2.)}{=}}{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}\cdot \operatorname {div} {\vec {r}}+{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\vec {r}}\cdot \operatorname {grad} {\frac {1}{r^{3}}}{\stackrel {(4.)}{=}}{\frac {3q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}+{\frac {3q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\vec {r}}{\frac {(-1)}{r^{5}}}{\vec {r}}=0.}$

Ovdje smo gledali polje u bilo kojoj točki prostora, a ne u ishodišu, koristeći invarijantnost divergencije. Ovaj rezultat zapravo je jedna od Maxwellovih jednadžbi, odnosno Gaussov zakon (ne teorem!) u prostoru gdje nema naboja.

Vezani pojmovi

• Tok polja
• Gradijent
• Vektorsko polje
• Rotacija
• Elektromagnetizam
• Električno polje
• Magnetsko polje
• Hidrodinamika
• Vektorske operacije u zakrivljenim koordinatama

Vanjske poveznice

• Gradijent, divergencija i rotacija
• Divergencija i rotacija. Specijalna polja
• Wolfram: Divergence