Razlika između inačica stranice »Kartezijev koordinatni sustav«

Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje
Nadopunio Kartezijev koordinatni sustav
(dodan raspored oktanta)
(Nadopunio Kartezijev koordinatni sustav)
[[datoteka:Cartesian-coordinate-system.svg|mini|desno|300px|Kartezijev koordinatni sustav u [[ravnina|ravnini]].]]
=='''Povijest'''==
 
[[Datoteka:Cartesian-coordinate-system.svg|thumb|right|250px|]]
[[datoteka:Coord system CA 0.svg|mini|desno|300px|Pravokutni Kartezijev koordinatni sustav u [[prostor]]u.]]
 
[[Imagedatoteka:Cartesian coordinates 2D.svg|thumbmini|250pxdesno|300px|Raspored kvadranta.]]
 
[[Datotekadatoteka:Octant numbers.svg|mini|desno|300px|Raspored oktanta u prostoru (3D sustavu).]]
 
'''Kartezijev koordinatni sustav''', '''pravokutni koordinatni sustav''' ili '''pravokutni Kartezijev koordinatni sustav''' u [[prostor]]u određen je trima međusobno okomitim pravcima ''x, y, z'', koji se sijeku u ishodištu ''O'', i s Kartezijevim koordinatnim sustavima na njima. Koordinate se tada zovu apscisa (na osi ''x''), ordinata (na osi ''y'') i aplikata (na osi ''z''). <ref> '''koordinatni sustavi''', [http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=33043] "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2018.</ref>
 
==''' Povijest''' ==
Zasluga za otkriće Kartezijevog koordinatnog sustava kako on danas nosi ime, pripala je francuskom matematičaru [[René Descartes|Reneu Descartesu]] (1596.-1650.) koji ga je imenovao po svojoj latinskoj inačici imena ''Cartesius''. Premda je ideja bila utemeljena još 1637. godine odvojeno u dva zapisa Descartesa i [[Pierre de Fermat|Fermata]], potonji nije objavio svoje otkriće. Upravo je Descartes zato uveo novu zamisao određivanja položaja točke ili objekta u ravnini upotrijebivši dvije međusobno okomite osi kao mjerila. Otkriće Kartezijevog koordinatnog sustava značilo je velik napredak u matematici povezujući najprije [[Euklidska geometrija|Euklidsku geometriju]] i algebru. [[kružnica|Kružnice]], [[elipsa|elipse]] i druge krivulje sada su prvi puta mogle biti opisivane “kartezijskim” algebarskim jednadžbama pomoću koordinata točaka krivulje u ravnini. Razvoj kartezijevog koordinatnog sustava značajno je doprinijeo daljnjem razvoju matematike i omogućio [[Isaac Newton|Newtonu]] i [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibnitzu]] skoro otkriće diferencijalnog i integralnog računa.
 
Nalik zemljopisnoj karti gdje je položaj nekog mjesta određen s dva podatka: zemljopisnom širinom i zemljopisnom dužinom, nacrtamo li dva međusobno okomita brojevna pravca, na primjer ''x'' i ''y'' - uobičajeno ''x'' horizontalan, a ''y'' vertikalan, koji se sijeku u točki O i odredimo li na pravcima ''x'' i ''y'' jedinične točke E i F, tako da je /OE/=/OF/=1, definirali smo pravokutni ili Kartezijev koordinatni sustav u ravnini.
 
=== Kartezijev dvodimenzionalni koordinatni sustav ===
[[Image:Cartesian coordinates 2D.svg|thumb|250px|Raspored kvadranta]]
Točka O zove se ishodište koordinatnog sustava, brojevni pravac x zove se os x ili apscisa, a brojevni pravac y os y ili ordinata koordinatnog sustava. Katkada govorimo skrećeno o x-osi ili y-osi, odn. o osima koordinatnog sustava. Na svaku od osi smješten je brojevni pravac, gdje svaki realni broj: cijeli, racionalni ili iracionalni ima jedinstveno mjesto na osi. Svakoj točki ravnine dodijeljene su na taj način odgovarajuće koordinate koje nalazimo okomitim, odn. ortogonalnim projekcijama koje iz odgovarajuće točke povlačimo na os x, odn. os y, gdje su koordinate date u određenom broju jediničnih duljina.
 
 
=== Kartezijev trodimenzionalni koordinatni sustav===
[[Image:Coord system CA 0.svg|thumb|250px|]]
Kartezijev koordinatni sustav možemo izabrati i kao o jednodimenzionalni matematički prostor, gdje će takav prostor biti određen jednom osi uz izbor orijentacije osi i jedinične dužine, a koordinata (jedna) će u tom slučaju određivati položaj točke na brojevnom pravcu koji je pridružen koordinatnoj osi.
 
[[Datoteka:Octant numbers.svg|mini|Raspored oktanta u 3D sustavu]]
Kartezijev dvodimenzionalni koordinatni sustav određuje položaj točke u ravnini, a kartezijev trodimenzionalni koordinatni sustav određuje položaj točke u prostoru gdje je takav koordinatni sustav definiran središtem koordinatnog sustava ''0'', i tri orijentirane osi (''x'', ''y'' i ''z'') s odgovarajućim jediničnim dužinama. Koordinate svake točke u takvom sustavu zadate su uređenim skupom od 3 broja, na primjer (3, -1, 5) koji označavaju odgovarajuće koordinate u trodimenzionalnom matematičkom prostoru, gdje su koordinate predstavljene orijentiranim okomitim udaljenostima od neke točke do odgovarajuće ravnine. U trodimenzionalnom koordinatnom sustavu nazivi osi (apscisa i ordinata) nisu uvjetovane, no ako se upotrebljavaju tada je uobičajeno treću, ''z''-os, nazvati aplikata. Na isti način je uobičajeno ''x''-os i ''y''-os postaviti u horizontalnu ravninu, a preostalu, ''z''-os postaviti okomito na njih.
Konačno, trodimenzionalni koordinatni sustav dijelimo na osam područja, “oktanata”, omeđenih s odgovarajućim dijelovim ravnina. Prvi oktant je onaj gdje su sve tri poluosi pozitivne.
Slijedeći navedeni princip općenito se mogu koordinate točke odrediti i u n-dimenzionalnom matematičkom prostoru gdje će se pomoću ''n'' odgovarajućih koordinata definirati orijentirana udaljenost od točke do jedne od ''n'' [[hiperravnina]]. U četverodimenzionalnom matematičkom prostoru na primjer, postojat će četiri osi x, y, z i w, a koordinate svake točke u takvom matematičkom prostoru bit će određene uređenim skupom od četiri broja.
 
==''' Neposredne primjene i svojstva''' ==
 
=== Udaljenost između dviju točaka u ravnini ===
=='''Neposredne primjene i svojstva'''==
===Udaljenost između dviju točaka u ravnini===
Udaljenost dviju točaka u ravnini određenih Kartezijevim koordinatama
<math>(x_1,y_1)</math> i <math>(x_2,y_2)</math> je
što je na neki način izraz [[Pitagorin poučak|Pitagorina poučka]] iskazanog u Kartezijevom koordinatnom sustavu.
 
=== Polovište dužine ===
Neka je dužina zadana točkama ''A'' i ''B'' i njihovim koordinatama ''A''<math>(x_1,y_1)</math> i ''B''<math>(x_2,y_2)</math> tada će polovište dužine imati koordinate
 
:<math>y_p = \frac{y_1+y_2}{2}</math>.
 
=== Koordinate težišta trokuta ===
Neka je trokut ''ABC'' smješten u Kartezijevom koordinatnom sustavu i određen točkama s koordinatama ''A''<math>(x_1,y_1)</math>, ''B''<math>(x_2,y_2)</math> i ''C''<math>(x_3,y_3)</math>, tada će
težište trokuta imati koordinate
:<math>y_t = \frac{y_1+y_2+y_3}{3}</math>.
 
=== Udaljenost između dviju točaka u prostoru ===
Udaljenost dviju točaka u prostoru određenih u trodimenzionalnom Kartezijevom koordinatnom sustavu <math>(x_1,y_1,z_1)</math> i <math>(x_2,y_2,z_2)</math> je
 
što se može utvrditi primjenom Pitagorina poučka.
 
=== Translacija ===
Skup točaka u ravnini, na primjer trokuta ''ABC'', može se pomaknuti u ravnini uz očuvanje međusobnih udaljenosti i orijentacije uz dodavanje utvrđenog parova bojeva (''X'',''Y'') Kartezijevim koordinatama svake točke skupa. Ako su koordinate točaka trokuta ''A''(x’, y’), ''B''(x’’, y’’) i ''C''(x’’’, y’’’) tada će translatirani, odn. pomaknuti trokut imati koordinate ''A’''(x’+X, y’+Y), ''B’''(x’’+X, y’’+Y) i ''C’''(x’’’+X, y’’’+Y)
 
[[Image:Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg|thumb|right|250px|]]
 
=== Prikaz krivulja u koordinatnom sustavu u ravnini ===
U Kartezijevom koordinatnom sustavu jednostavno se prikazuju krivulje u ravnini (kružnica, elipsa, parabola i td.) te različite funkcije (linearne, polinomne, eksponencijalne, trigonometrijske i td.).
 
:<math> x^2 + y^2 = 2^2 \,</math>
 
=== Prikaz vektora u Kartezijevim koordinatama ===
Točka u prostoru opisanom Kartezijevim koordinatama može definirati vektor. Vektor pomaka, na primjer ''r'', može imati hvatište u ishodištu Kartezijeva koordinatnog sustava i vrh u točki u prostoru. Strelica koja pokazuje prema vrhu vektora definira smjer vektora (smjer pomaka), a ortogonalne projekcije na osi x, y i z odgovarajući pomak u x, y ili z smjeru. Dužina samog vektora tada je apsolutna veličina pomaka u prostoru
 
gdje su '''''i''''', '''''j''''' i '''''k''''' jedinični vektori u smjeru x, y i z osi.
 
Vektor u Kartezijevom trodinemzionalnom prostoru određen je na taj način u cijelosti uređenim skupom od četiri veličine (r, x, y, z). Ovakav prikaz vektora uveo je [[Sir William Rowan Hamilton|[W. R. Hamilton]].
 
==''' Primjene''' ==
 
=='''Primjene'''==
Svaka os može u praktičnoj primjeni prema potrebi imati različite mjerne jedinice (kilograme, sekunde, vate, itd), što znači da Kartezijevim koordinatnim sustavom možemo prikazivati ne samo krivulje, likove i geometrijska tijela u dvodimenzionalnom, odnosno trodimenzionalnom prostoru, već da možemo prikazivati i sve moguće ostale varijable (masa, vrijeme, energija, sila i mnoge druge). Premda je teško vizualizirati četvero i višedimenzionalne prostore, algebra Kartezijevih koordinata može se jednostavno proširiti na četiri ili više varijabli tako da se mogu izvršiti izračuni vrijednosti funkcija i s četiri ili više varijabli. Takva algebra definira geometriju višedimenzionalnih prostora.
 
==''' Značaj''' ==
 
=='''Značaj'''==
Kartezijeve koordinate su temelj analitičke geometrije i osiguravaju geometrijsku interpretaciju za brojna područja matematike kao što su linearna algebra, kompleksna analiza, diferencijalna geometrija i td. Jedan od najpoznatijih primjera je koncept grafičkog prikaza ili grafa funkcije. Kartezijske koordinate su osnovno oruđe u mnogim područjima koja se bave geometrijom uključujući astronomiju, fiziku, tehničke struke, ekonomiju i drugdje.
 
 
Nakon Descartesa razvijeni su i drugi koordinatni sustavi kao što su polarni, sferični, cilindrični i drugi.
 
== Izvori ==
{{izvori}}
 
 

Navigacijski izbornik