Teorem o ekstremnim vrijednostima

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje

U diferencijalnom računu, teorem o ekstremnim vrijednostima tvrdi da, ako je realna funkcija f neprekidna na ograničenom segmentu [a, b], onda ona mora dosegnuti maksimum i minimum, svaki barem jednom. To jest, postoje brojevi c i d u [a, b] takvi da:

.

Srodni teorem je teorem o ograničenosti koji kaže da je neprekidna funkcija f na segmentu [a, b] ograničena na tom segmentu. To jest, postoje realni brojevi m i M takvi da:

.

Teorem o ekstremnim vrijednostima obogaćuje teorem o ograničenosti govoreći da ne samo da je funkcija ograničena, nego u isto vrijeme dostiže svoju najmanju gornju među kao svoj maksimum i najveću donju među kao svoj minimum.

Teorem o ekstremnim vrijednostima se upotrebljava u dokazu Rolleovog teorema. U formulaciji od Karla Weierstrassa, taj teorem tvrdi da neprekidna funkcija iz nepraznog kompaktnog prostora u podskup realnih brojeva dostiže maksimum i minimum.

Povijest[uredi VE | uredi]

Teorem o ekstremnim vrijednostima je originalno dokazao Bernard Bolzano u 1830-ima u djelu Teorija funkcija ali je djelo ostalo neobjavljeno sve do 1930. Bolzanov dokaz sastojao se u pokazivanju da je neprekidna funkcija na segmentu ograničena, i tada da funkcija dostiže svoj minimum i maksimum. U oba dokaza se pojavljuje teorem koji je danas poznat pod nazivom Bolzano-Weierstrassov teorem (Rusknock i Kerr-Lawson 2005). Taj rezultat je otkrio kasnije Weierstrass u 1860.

Funkcije na koje se teorem ne može primijeniti[uredi VE | uredi]

Sljedeći primjeri pokazuju zašto domena funkcije mora biti ograničeni segment da bi se teorem primijenio. Svaka od njih ne dostiže maksimum na danom intervalu.

  • definirana na nije ograničena odozgo.
  • definirana na je ograničena ali ne dostiže svoju najmanju gornju među 1.
  • definirana na nije ograničena odozgo.
  • definirana na je ograničena ali nikada ne dostiže svoju najmanju gornju među 1.

Definiranjem f(0) = 0 u zadnja dva primjera pokazuje da oba teorema zahtijevaju neprekidnost na [a, b].

Generalizacija na metričke i topološke prostore[uredi VE | uredi]

U prelasku sa na općenite metričke i topološke prostore, prikladna generalizacija ograničenog segmenta je kompaktni skup. Skup K je kompaktan ako ima sljedeće svojstvo: iz svake kolekcije otvorenih skupova takve da je , konačna podkolekcija može biti izabrana tako da . To se naziva Heine-Borel svojstvo, i obično se izriče u kratko kao "svaki otvoreni pokrivač od K ima konačni podpokrivač." Heine-Borel teorem tvrdi da je podskup realnih brojeva kompaktan ako i samo ako je i zatvoren i ograničen.

Koncept neprekidne funkcije također se može poopćiti. Neka su dani topološki prostori V, W, funkcija je neprekidna ako je za svaki otvoreni skup , također otvoren. S obzirom na te definicije, može se pokazati da neprekidna funkcija čuva kompaktnost.[1]

Teorem. Ako su topološki prostori, neprekidna funkcija, je kompaktan, tada je i isto kompaktan.

Posebno, ako je tada taj teorem implicira da je zatvoren i ograničen za svaki kompaktni skup , što opet implicira da dostiže svoj supremum i infimum na svakom (nepraznom) kompaktnom skupu . Prema tome, imamo sljedeću generalizaciju teorema o ekstremnoj vrijednosti:

Teorem Ako je kompaktni skup i neprekidna funkcija, tada je ograničena i postoje takvi da i .

Izvori[uredi VE | uredi]

  1. Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw Hill. str. 89-90.