Eulerov identitet

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

U matematičkoj analizi Eulerov identitet predstavlja sljedeću jednakost imenovanu po Leonhardu Euleru:

e^{i \pi} + 1 = 0 \,\!

gdje je

Eulerov identitet se ponekad naziva i Eulerova jednadžba.

Eksponencijalna funkcija ez može se definirati kao limes niza (1 + z/N)N. Tako da kada N teži u beskonačnost time je i e limes od (1 + iπ/N)N. Može se pokazati da se za dovoljno veliki N, izraz (1 + iπ/N)Npribližava svom limesu koji iznosi −1.

Eulerov identitet se od strane mnogih smatra izuzetnim jer na jednostavan način povezuje tri osnovne matematičke operacije (zbrajanje, množenje i potenciranje) te povezuje čak pet fundamentalnih matematičkih konstanti i to brojeve 0, 1, π, e i imaginarni broj i. Svaka od tih konstanti na poseban je način temeljna u teoriji brojeva, geometriji i trigonometriji, statistici, području kompleksnih brojeva i drugdje. Identitet mnogi smatraju jednim od najljepših teorema u matematici.

Izvod[uredi VE | uredi]

Identitet je poseban slučaj Eulerove formule koja ustanovljava da je

e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!

za svaki realni broj x određen u radijanima.

Na taj način je i

e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!

te kako je

\cos \pi = -1  \, \!

i

\sin \pi = 0,\,\!

slijedi da je

e^{i \pi} = -1,\,\!

iz čega slijedi konačan oblik identiteta.

e^{i \pi} +1 = 0.\,\!

Generalizacija identiteta[uredi VE | uredi]

Eulerov identitet je poseban slučaj općenitijeg identiteta koji ustanovljava da je

\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .

Eulerov identitet je slučaj gdje je n = 2.