Eulerov identitet

U matematičkoj analizi Eulerov identitet predstavlja sljedeću jednakost imenovanu po Leonhardu Euleru:

$e^{i \pi} + 1 = 0 \,\!$

gdje je

• $e\,\!$ Eulerov broj, baza prirodnih logaritama,
• $i\,\!$ imaginarna jedinica čiji kvadrat daje −1,
• $\pi\,\!$ pi, prirodni broj i omjer opsega kružnice i njezina promjera.

Eulerov identitet se ponekad naziva i Eulerova jednadžba.

Eksponencijalna funkcija e^z može se definirati kao limes niza (1 + z/N)^N . Tako da kada N teži u beskonačnost time je i e^iπ limes od (1 + iπ/N)^N . Može se pokazati da se za dovoljno veliki N, izraz (1 + iπ/N)^N približava svom limesu koji iznosi −1.

Eulerov identitet se od strane mnogih smatra izuzetnim jer na jednostavan način povezuje tri osnovne matematičke operacije (zbrajanje, množenje i potenciranje) te povezuje čak pet fundamentalnih matematičkih konstanti i to brojeve 0, 1, π, e i imaginarni broj i. Svaka od tih konstanti na poseban je način temeljna u teoriji brojeva, geometriji i trigonometriji, statistici, području kompleksnih brojeva i drugdje. Identitet mnogi smatraju jednim od najljepših teorema u matematici.

Izvod

Identitet je poseban slučaj Eulerove formule koja ustanovljava da je

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!$

za svaki realni broj x određen u radijanima.

Na taj način je i

$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!$

te kako je

$\cos \pi = -1 \, \!$

i

$\sin \pi = 0,\,\!$

slijedi da je

$e^{i \pi} = -1,\,\!$

iz čega slijedi konačan oblik identiteta.

$e^{i \pi} +1 = 0.\,\!$

Generalizacija identiteta

Eulerov identitet je poseban slučaj općenitijeg identiteta koji ustanovljava da je

$\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .$

Eulerov identitet je slučaj gdje je n = 2.