Eksponencijalna funkcija

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži
Eksponencijalna funkcija y = e^x

U matematici eksponencijalna funkcija je funkcija y = ex gdje je broj e prirodna konstanta i baza prirodnih logritama. Funkcija y = ex je definirana unutar cijelog skupa realnih brojeva, monotono je rastuća porastom nezavisne varijable x, gdje se brzina rasta povećava kako raste x.

Graf funkcije (slika desno) leži iznad x-osi, ali joj se asimptotski približava kako x teži prema sve manjim negativnim vrijednostima. Brzina rasta funkcije je u svakoj točki jednaka vrijednosti funkcije u toj točki. Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije je funkcija prirodnog logaritma y = ln(x) te se u starijim izvorima eksponencijalna funkcija spominje kao antilogaritamska funkcija.


Definicija[uredi VE | uredi]

Eksponencijalna funkcija (plavo) i vrijednost limesa za n=0 do n=8 (crveno).

Eksponencijalna funkcija ex može biti definirana kao niz potencija razvijenih u Taylorov red:

e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots.

Eksponencijalna funkcija se može također izraziti i kao limes:

e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n.

Kako n raste, vrijednost limesa izraza se sve više približava vrijednosti ex (slika desno).

Jedinstveno svojstvo eksponencijalne funkcije može se izraziti pomoću jednakosti

e^{(x+y)} = e^x \cdot e^y \,

odnosno napisano drukčije

\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y).


Derivacija[uredi VE | uredi]

Važnost eksponencijalne funkcije u matematici i znanosti potječe uglavnom iz svojstava njezine derivacije koja ima svojstvo da je

\,{d \over dx} e^x = e^x

što znači da je funkcija ex ujedno i svoja derivacija. Isto takvo svojstvo imaju i funkcija oblika Kex gdje je K konstanta.

Za sve funkcije takvih svojstava vrijedi da je:

  • strmina, odn. nagib grafa funkcije u svakoj točki jednak vrijednosti funkcije u toj točki,
  • brzina porasta funkcije za vrijednost slobodne varijable x jednaka vrijednosti funkcije u x,
  • eksponencijalna funkcije rješenje diferencijalne jednadžbe y ′ = y.

Štoviše, i drugi oblici diferencijalnih jednadžbi nalaze rješenje u eksponencijalnim funkcijama uključivši Schrödingerovu jednadžbu, Laplaceovu jednadžbu te jednadžbu jednostavnog harmoničkog gibanja.


Eksponencijalna funkcija s realnim brojem a kao bazom[uredi VE | uredi]

Graf funkcije y=ax za različite baze a: baza10 (zeleno), baza e (crveno), baza 2 (plavo) i baza ½ (cijan). Svaka krivulja prolazi točkom (0,1), a za x=1 vrijednost y funkcije upravo je jednaka bazi.

Katkada se pojam eksponencijalne funkcije koristi općenitije za funkcije oblika

y=a^x \,

gdje baza a može biti i bilo koji pozitivni realni broj, a ne nužno broj e.

Za eksponencijalne funkcije s drugim bazama vrijedi da je

{d \over dx} a^x = (\ln a) a^x.


Eksponencijalna funkcija u kompleksnoj ravnini[uredi VE | uredi]

Eksponencijalna funkcija može se definirati i u kompleksnoj ravnini na nekoliko ravnopravnih načina. Neki od njih odražavaju iste izraze kao i za eksponencijalne funkcije realne varijable. Na primjer, eksponencijalna funkcija kompleksne varijable može se izraziti u obliku reda potencija gdje su realne vrijednosti zamijenjene kompleksnima:

\,\!\, e^z = \sum_{n = 0}^\infty\frac{z^n}{n!}

Koristeći ovu definiciju jednostavno je pokazati da jednakost

{d \over dz} e^z = e^z

vrijedi i u kompleksnoj ravnini.

Razmatrana kao funkcija definirana u kompleksnoj ravnini, eksponencijalna funkcija zadržava svoja osnovna svojstva:

\,\!\, e^{z + w} = e^z e^w
\,\!\, e^0 = 1
\,\!\, e^z \ne 0
\,\!\, {d \over dz} e^z = e^z

za sve kompleksne brojeve z i w. Eksponencijalna funkcija može biti i periodička kada je funkcija imaginarnog argumenta perioda 2 \pi i jer vrijedi

\,\!\, e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b)

i

\,e^z = e^xe^{yi} = e^x(\cos y + i \sin y) = e^x\cos y + ie^x\sin y.

gdje su a i b realne vrijednosti. Jednakost povezuje eksponencijalnu funkciju s trigonometrijskim funkcijama i dalje s hiperboličkim funkcijama. Štoviše, može se definirati i funkcija oblika ab, gdje su i a i b kompleksne veličine.

Pojam prirodnog logaritma se može također proširiti i na funkciju kompleksnog argumenta ln(z), gdje možemo definirati općenitije da je

\,\!\, z^w = e^{w \ln z}

za sve kompleksne brojeve z i w. Ovo je također višeznačna funkcija i identitet vrijedi ukoliko se uzme u obzir višeznačnost funkcije. Naime, upravo zbog višeznačnosti funkcije općenito ne vrijedi pravilo množenja eksponenata za pozitivne realne brojeve

\,\!\, (e^z)^w \ne e^\left(z w\right)

Literatura[uredi VE | uredi]

  • Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.
  • Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, 2006.