Teorem o međuvrijednostima

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje

U matematičkoj analizi, teorem o međuvrijednostima kaže da, ako neprekidna funkcija f, sa segmentom [a, b] kao svojom domenom, poprima vrijednosti f(a) i f(b) na svakom kraju segmenta, onda isto tako ona i poprima svaku vrijednost između f(a) i f(b) u nekoj točki segmenta.

Ta tvrdnja ima dva važna korolara:

  • Ako neprekidna funkcija ima vrijednosti suprotnog predznaka unutar segmenta, onda ona ima korijen u tom segmentu (Bolzanov teorem).
  • Slika neprekidne funkcije definirane na segmentu je također segment.

Motivacija[uredi VE | uredi]

Teorem obuhvaća intuitivno svojstvo neprekidnih funkcija: neka je f neprekidna na [1, 2] sa znanim vrijednostima f(1)=3 i f(2)=5. Tada graf od y=f(x) mora proći kroz horizontalnu liniju y=4 dok x ide od 1 do 2. To predstavlja ideju da se graf neprekidne funkcije na segmentu može nacrtati bez da se podigne olovka sa papira.

Teorem[uredi VE | uredi]

Teorem o međuvrijednosti kaže sljedeće.

Neka je dan segment u i neprekidna funkcija . Tada:

  • Inačica 1. Ako je u broj između f(a) i f(b), to jest, tada postoji unutarnja točka c segmenta I takva da je .
  • Inačica 2. Slika je također segment, ili sadrži ili .

Bilješka: Inačica 2 kaže da skup vrijednosti funkcije nema prazninu. Za svake dvije funkcijske vrijednosti , čak i ako su izvan intervala između f(a) i f(b), sve točke u segmentu [c, d] su također vrijednosti funkcije: .

Podskup realnih brojeva bez unutarnje praznine je interval. Inačica 1 je prirodno sadržana u Inačici 2.

Veza sa potpunošću[uredi VE | uredi]

Teorem ovisi o, i ekvivalentan je, potpunosti realnih brojeva. Teorem o međuvrijednosti ne odnosi se na racionalne brojeve, jer praznine postoje između racionalnih brojeva; iracionalni brojevi pune te praznine. Na primjer, funkcija za zadovoljava f(0) = -2 i f(2) = 2. Međutim, ne postoji racionalni broj x takav da je f(x) = 0, jer je iracionalan broj.

Povijest[uredi VE | uredi]

Za u = 0 tvrdnja je znana pod nazivom Bolzanov teorem. Taj teorem je prvi dokazao Bernard Bolzano u 1817. Augustin-Luis Cauchy je dao još jedan dokaz 1821.[1] Oba su bila inspirirana ciljem formalizacije analize funkcija i djelima Josepha-Louisa Lagrangea. Ideja da neprekidne funkcije imaju svojstvo međuvrijednosti ima raniji izvor. Simon Stevin je dokazao teorem o međuvrijednosti za polinome (upotrebljavajući polinom trećeg stupnja kao primjer) dajući algoritam za konstrukciju decimalnog zapisa rješenja. Algoritam iterativno dijeli interval na 10 dijelova, stvarajući dodatnu znamenku na svakom koraku iteracije.[2] Prije nego je formalna definicija neprekidnosti dana, svojstvo međuvrijednosti je dano kao dio definicije neprekidne funkcije. Louis Arbogast je pretpostavio da funkcije nemaju skokova, zadovoljavaju svojstvo međuvrijednosti i imaju inkremente čije veličine odgovaraju veličinama inkrementa varijable.[3] Raniji autori držali su da je rezultat očit i da ne zahtijeva dokaz. Uvid Bolzana i Cauchya je bio definiranje općenitog koncepta neprekidnosti (preko infinitezimalnih veličina u Cauchyevom slučaju i koristeći nejednakosti u Bolzanovom slučaju), i davanje dokaza baziranog na takvim definicijama.

Izvori[uredi VE | uredi]

  1. Grabiner, Judith V. (1983.) Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus. The American Mathematical Monthly. (str. 185-194.)
  2. Karin Usadi Katz i Mikhail G. Katz (2011) A Burgessian Critique of Nominalistic Tendencies in Contemporary Mathematics and its Historiography. Foundations of Science.
  3. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., Intermediate value theorem, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.