Binomni poučak

U elementarnoj algebri, binomni poučak opisuje algebarsko proširivanje potencije binoma. Prema tom poučku moguće je (x + y)n proširiti u sumu koja uključuje izraze oblika axbyc, gdje su b i c pozitivni cijeli brojevi, i koeficijent a je specifični pozitivni broj ovisan o n i b. Kada je eksponent jednak nuli, taj se element izostavi iz niza. Na primjer :
Koeficijent a u izrazu axbyc je također poznat kao binomni koeficijent ili (ova dva imaju istu vrijednost). Ovi koeficijenti za različite n i b se mogu složiti u Pascalov trokut. Ovi se brojevi također pojavljuju u kombinatorici, gdje daje broj različitih kombinacija b elemenata izabranih iz skupa od n elemenata.
Sadržaj
Povijest[uredi VE | uredi]
Formula i prikaz binomnih koeficijenata u obliku trokuta se često pripisuju Blaiseu Pascalu, koji ih je opisao u 17. stoljeću, iako je bio poznat mnogim matematičarima prije njega. U 4. stoljeću pr. Kr grčki matematičar Euklid je znao posebni slučaj binomnog poučka za n=2, kao i u 3. stoljeću pr. Kr indijski matematičar Pingala za više eksponente. Općeniti binomni poučak i takozvani "Pascalov trokut" su bili poznati u 10. stoljeću poslije Krista indijskom matematičaru Halayudhi i perzijskom matematičaru Al-Karaji, te u 11. stoljeću perzijskom pjesniku i matematičaru Omaru Khayyamu,i u 13. stoljeću kineskom matematičaru Yangu Huiu, koji su svi imali slične rezultate. Al-Karaji je također dokazao binomni poučak i "Pascalov trokut", koristeći matematičku indukciju.
Iskaz poučka[uredi VE | uredi]
Prema poučku, moguće je proširiti bilo koju potenciju od x + y u zbroj oblika :
, gdje je specifični pozitivan broj poznat kao binomni koeficijent. Ovo je također poznato kao binomna formula ili binomni identitet. Također se može zapisati kao :
Jedna od varijanti binomne formule se dobija zamjenom 1 za y, tako da ima samo jednu varijablu. U ovom obliku, formula izgleda ovako :
ili ekvivalentno :
Primjeri[uredi VE | uredi]
Najjednostavniji primjer je kvadrat od x+y :
Binomni koeficijenti 1, 2, 1 se pojavljuju u trećem redu Pascalova trokuta. Koeficijenti za veće eksponente se nalaze u nižim redovima Pascalova trokuta.
Primjetite da :
- eksponenti od x se smanjuju dok ne dođu do nule (), a početna im je vrijednost n
- eksponenti od y rastu dok ne dođu do n, a početna im je vrijednost 0 ()
- N-ti red Pascalova trokuta će biti koeficijenti proširenog binoma. (Red na vrhu je red 0)
- Za svaki red Pascalova trokuta, zbroj koeficijenata je jednak .
Za binome koji imaju oduzimanje, poučak se također može primijeniti, sve dok mijenjamo predznak svako drugom koeficijentu u izrazu :
Geometrijski dokaz[uredi VE | uredi]
Za pozitivne vrijednosti a i b, binomni poučak za n = 2, geometrijski je očito da se kvadrat sa stranicom (a+b) može izrezati u kvadrat sa stranicom , kvadrat sa stranicom , i dva pravokutnika da stranicama a i b. Za n=3, poučak kaže da se kocka sa stranicom (a + b) može izrezati u kocku sa stranicom , kocku sa stranicom , tri kvadra oblika a×a×b te tri kvadra oblika a×b×b.
Binomni koeficijenti[uredi VE | uredi]
Koeficijenti koji se pojavljuju u binomnom poučku se zovu binomni koeficijenti.
Formule[uredi VE | uredi]
Koeficijent od xn−kyk je zadan formulom
- ,
koji je definiran funkcijom faktorijela. Također, formula se može zapisati kao :
Iako ova formula sadrži razlomak, rezultat je uvijek cijeli broj. Dokaz:
- Potrebno je dokazati da k! dijeli umnožak k uzastopnih cijelih brojeva.
- Rastavimo umnoške na proste faktore. Dokazat ćemo da se neki prosti faktor p pojavljuje u k! manje ili jednako puta koliko u umnošku k uzastopnih brojeva.
- Indukcijom, p se u umnošku k uzastopnih brojeva najmanje puta pojavljuje za n = k p + 1 (k ∈ ℤ) jer će mu najduže trebati da prođe prvi višekratnik, pa sljedeći itd.
- Za k = 0, n = 1 te je time tvrdnja dokazana.