Binomni poučak

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži
Binomni koeficijenti se mogu izračunati kao dijelovi Pascalova trokuta, gdje je svaki broj zbroj ona dva iznad njega.

U elementarnoj algebri, binomni poučak opisuje algebarsko proširivanje potencije binoma. Prema tom poučku moguće je (x + y)n proširiti u sumu koja uključuje izraze oblika axbyc, gdje su b i c pozitivni cijeli brojevi, i koeficijent a je specifični pozitivni broj ovisan o n i b. Kada je eksponent jednak nuli, taj se element izostavi iz niza. Na primjer :

Koeficijent a u izrazu xbyc je također poznat kao binomni koeficijent ili (ova dva imaju istu vrijednost). Ovi koeficijenti za različite n i b se mogu složiti u Pascalov trokut. Ovi se brojevi također pojavljuju u kombinatorici, gdje daje broj različitih kombinacija b elemenata izabranih iz skupa od n elemenata.

Povijest[uredi VE | uredi]

Formula i prikaz binomnih koeficijenata u obliku trokuta se često pripisuju Blaiseu Pascalu, koji ih je opisao u 17. stoljeću, iako je bio poznat mnogim matematičarima prije njega. U 4. stoljeću pr. Kr grčki matematičar Euklid je znao posebni slučaj binomnog poučka za n=2, kao i u 3. stoljeću pr. Kr indijski matematičar Pingala za više eksponente. Općeniti binomni poučak i takozvani "Pascalov trokut" su bili poznati u 10. stoljeću poslije Krista indijskom matematičaru Halayudhi i perzijskom matematičaru Al-Karaji, te u 11. stoljeću perzijskom pjesniku i matematičaru Omaru Khayyamu,i u 13. stoljeću kineskom matematičaru Yangu Huiu, koji su svi imali slične rezultate. Al-Karaji je također dokazao binomni poučak i "Pascalov trokut", koristeći matematičku indukciju.

Iskaz poučka[uredi VE | uredi]

Prema poučku, moguće je proširiti bilo koju potenciju od x + y u zbroj oblika :

, gdje je specifični pozitivan broj poznat kao binomni koeficijent. Ovo je također poznato kao binomna formula ili binomni identitet. Također se može zapisati kao :

Jedna od varijanti binomne formule se dobija zamjenom 1 za y, tako da ima samo jednu varijablu. U ovom obliku, formula izgleda ovako :

ili ekvivalentno :

Primjeri[uredi VE | uredi]

Pascalov trokut

Najjednostavniji primjer je kvadrat od x+y :

Binomni koeficijenti 1, 2, 1 se pojavljuju u trećem redu Pascalova trokuta. Koeficijenti za veće eksponente se nalaze u nižim redovima Pascalova trokuta.


Primjetite da :

  1. eksponenti od x se smanjuju dok ne dođu do nule (), a početna im je vrijednost n
  2. eksponenti od y rastu dok ne dođu do n, a početna im je vrijednost 0 ()
  3. N-ti red Pascalova trokuta će biti koeficijenti proširenog binoma. (Red na vrhu je red 0)
  4. Za svaki red Pascalova trokuta, zbroj koeficijenata je jednak .

Za binome koji imaju oduzimanje, poučak se također može primjeniti, sve dok mijenjamo predznak svako drugom koeficijentu u izrazu :

Geometrijski dokaz[uredi VE | uredi]

Geometrijski dokaz binomnog poučka

Za pozitivne vrijednosti a i b, binomni poučak za n = 2, geometrijski je očito da se kvadrat sa stranicom (a+b) može izrezati u kvadrat sa stranicom , kvadrat sa stranicom , i dva pravokutnika da stranicama a i b. Za n=3, poučak kaže da se kocka sa stranicom (a + b) može izrezati u kocku sa stranicom , kocku sa stranicom , tri kvadra oblika a×a×b te tri kvadra oblika a×b×b.

Binomni koeficijenti[uredi VE | uredi]

Koeficijenti koji se pojavljuju u binomnom poučku se zovu binomni koeficijenti.

Formule[uredi VE | uredi]

Koeficijent od xnkyk je zadan formulom

,

koji je definiran funkcijom faktorijela. Također, formula se može zapisati kao  :

Iako ova formula sadrži razlomak, rezultat je uvijek cijeli broj. Dokaz:

  1. Potrebno je dokazati da k! dijeli umnožak k uzastopnih cijelih brojeva.
  2. Rastavimo umnoške na proste faktore. Dokazat ćemo da se neki prosti faktor p pojavljuje u k! manje ili jednako puta koliko u umnošku k uzastopnih brojeva.
  3. Indukcijom, p se u umnošku k uzastopnih brojeva najmanje puta pojavljuje za n = k p + 1 (k ∈ ℤ) jer će mu najduže trebati da prođe prvi višekratnik, pa sljedeći itd.
  4. Za k = 0, n = 1 te je time tvrdnja dokazana.