Binomni poučak

Binomni koeficijenti se mogu izračunati kao dijelovi Pascalova trokuta, gdje je svaki broj zbroj ona dva iznad njega.

U elementarnoj algebri, binomni poučak opisuje algebarsko proširivanje potencije binoma. Prema tom poučku moguće je (x + y)ⁿ proširiti u sumu koja uključuje izraze oblika ax^by^c, gdje su b i c pozitivni cijeli brojevi, i koeficijent a je specifični pozitivni broj ovisan o n i b. Kada je eksponent jednak nuli, taj se element izostavi iz niza. Na primjer :

$(x+y)^{4}\;=\;x^{4}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,y^{4}.$$(x+y)^{4}\;=\;x^{4}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,y^{4}.$

Koeficijent a u izrazu x^by^c je također poznat kao binomni koeficijent ${\tbinom {n}{b}}$${\tbinom {n}{b}}$ ili ${\tbinom {n}{c}}$${\tbinom {n}{c}}$ (ova dva imaju istu vrijednost). Ovi koeficijenti za različite n i b se mogu složiti u Pascalov trokut. Ovi se brojevi također pojavljuju u kombinatorici, gdje ${\tbinom {n}{b}}$${\tbinom {n}{b}}$ daje broj različitih kombinacija b elemenata izabranih iz skupa od n elemenata.

Povijest

Formula i prikaz binomnih koeficijenata u obliku trokuta se često pripisuju Blaiseu Pascalu, koji ih je opisao u 17. stoljeću, iako je bio poznat mnogim matematičarima prije njega. U 4. stoljeću pr. Kr grčki matematičar Euklid je znao posebni slučaj binomnog poučka za n=2, kao i u 3. stoljeću pr. Kr indijski matematičar Pingala za više eksponente. Općeniti binomni poučak i takozvani "Pascalov trokut" su bili poznati u 10. stoljeću poslije Krista indijskom matematičaru Halayudhi i perzijskom matematičaru Al-Karaji, te u 11. stoljeću perzijskom pjesniku i matematičaru Omaru Khayyamu,i u 13. stoljeću kineskom matematičaru Yangu Huiu, koji su svi imali slične rezultate. Al-Karaji je također dokazao binomni poučak i "Pascalov trokut", koristeći matematičku indukciju.

Iskaz poučka

Prema poučku, moguće je proširiti bilo koju potenciju od x + y u zbroj oblika :

$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},$$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},$, gdje je ${\tbinom {n}{k}}$${\tbinom {n}{k}}$ specifični pozitivan broj poznat kao binomni koeficijent. Ovo je također poznato kao binomna formula ili binomni identitet. Također se može zapisati kao :

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.$$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.$

Jedna od varijanti binomne formule se dobija zamjenom 1 za y, tako da ima samo jednu varijablu. U ovom obliku, formula izgleda ovako :

$(1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},$$(1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},$

ili ekvivalentno :

$(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.$$(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.$

Primjeri

Pascalov trokut

Najjednostavniji primjer je kvadrat od x+y :

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.\!$$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.\!$

Binomni koeficijenti 1, 2, 1 se pojavljuju u trećem redu Pascalova trokuta. Koeficijenti za veće eksponente se nalaze u nižim redovima Pascalova trokuta.

${\begin{aligned}(x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}.\end{aligned}}$${\begin{aligned}(x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}.\end{aligned}}$

Primjetite da :

1. eksponenti od x se smanjuju dok ne dođu do nule ($x^{0}=1$$x^{0}=1$), a početna im je vrijednost n
2. eksponenti od y rastu dok ne dođu do n, a početna im je vrijednost 0 ($x^{0}=1$$x^{0}=1$)
3. N-ti red Pascalova trokuta će biti koeficijenti proširenog binoma. (Red na vrhu je red 0)
4. Za svaki red Pascalova trokuta, zbroj koeficijenata je jednak $2^{n}$$2^{n}$.

Za binome koji imaju oduzimanje, poučak se također može primjeniti, sve dok mijenjamo predznak svako drugom koeficijentu u izrazu :

$(x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}.\!$$(x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}.\!$

Geometrijski dokaz

Geometrijski dokaz binomnog poučka

Za pozitivne vrijednosti a i b, binomni poučak za n = 2, geometrijski je očito da se kvadrat sa stranicom (a+b) može izrezati u kvadrat sa stranicom $a^{2}$$a^{2}$, kvadrat sa stranicom $b^{2}$$b^{2}$, i dva pravokutnika da stranicama a i b. Za n=3, poučak kaže da se kocka sa stranicom (a + b) može izrezati u kocku sa stranicom $a^{3}$$a^{3}$, kocku sa stranicom $b^{2}$$b^{2}$, tri kvadra oblika a×a×b te tri kvadra oblika a×b×b.

Binomni koeficijenti

Koeficijenti koji se pojavljuju u binomnom poučku se zovu binomni koeficijenti.

Formule

Koeficijent od x^n−ky^k je zadan formulom

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$,

koji je definiran funkcijom faktorijela. Također, formula se može zapisati kao  :

${n \choose k}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}$${n \choose k}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}$

Iako ova formula sadrži razlomak, rezultat je uvijek cijeli broj. Dokaz:

1. Potrebno je dokazati da k! dijeli umnožak k uzastopnih cijelih brojeva.
2. Rastavimo umnoške na proste faktore. Dokazat ćemo da se neki prosti faktor p pojavljuje u k! manje ili jednako puta koliko u umnošku k uzastopnih brojeva.
3. Indukcijom, p se u umnošku k uzastopnih brojeva najmanje puta pojavljuje za n = k p + 1 (k ∈ ℤ) jer će mu najduže trebati da prođe prvi višekratnik, pa sljedeći itd.
4. Za k = 0, n = 1 te je time tvrdnja dokazana.