Zbrajanje

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Zbrajanje je osnovna računska operacija,[1] kojom saznajemo informaciju kad dvije ili više veličina (brojeva) skupimo zajedno, koliko ih sveukupno ima. Zbrajati možemo jabuke, kruške, ovčice u snu ili ljude na plaži (prirodni brojevi), no i volumen tekućina utočenih i istočenih iz spremnika, masu hrane i neprehrambenih artikala (decimalni brojevi). Također možemo zbrajati racionalne, realne i kompleksne brojeve, kao i vektore i matrice.

U matematici zbrajanje nekih izraza predstavljamo znakom plus +, npr. 1 + 2 = 3. Brojeve koje zbrajamo nazivamo pribrojnici. Rezultat zbrajanja zovemo zbroj.

Zbrajati možemo i nizove. Želimo li zbrojiti mnogo predvidivih brojeva, kao prirodne brojeve od 1 do 100, možemo to ostvariti na dva načina. Jedan je korištenje trotočja, npr. 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100. Drugi način je korištenje grčkog slova sigma:

gdje je i indeks, 1 je donja granica, a 100 je gornja granica sume. Općenito, suma je definirana kao:

Ako zbrajamo poznate brojeve radi se o aritmetičkoj operaciji, ako zbrajamo nepoznanice zbrajanje je algebarska operacija.[2][Neaktivna poveznica]

Svojstva[uredi VE | uredi]

5 + 0 = 5
Zbrajanje možemo zamisliti kao translaciju neke točke na brojevnom pravcu za određenu udaljenost, u ovom slučaju 2 za 4

Zbrajanje je komutativno, što znači da je a + b = b + a, tj. možemo slobodno zamijeniti mjesta pribrojnika, a zbroj se neće promijeniti.

Zbrajanje je i asocijativno, jer vrijedi ( a + b ) + c = a + ( b + c ).

Broj nula je neutralni element zbrajanja. Za svaki a vrijedi a + 0 = 0 + a = a. Nulu često zovemo i aditivni neutral zbrajanja[3].

Sljedbenik[uredi VE | uredi]

U skupu prirodnih brojeva, zbrajanjem broja n i 1 dobijemo najmanji prirodni broj veći od n, tzv. sljedbenik broja n. Na primjer, sljedbenik broja 6 je 7. Sljedbenik sljedbenika broja n jednak je n + 2. Poopćenjem k-ti po redu sljedbenik broja n jednak je n + k.

Mjerna jedinica[uredi VE | uredi]

Želimo li zbrojiti fizičke veličine, moramo ih izraziti pomoću istih mjernih jedinica. Na primjer, 2 litre vode i 5 decilitara vode možemo zapisati kao 20 + 5 = 25 decilitara vode, ili 2 + 0,5 = 2,5 litara vode. Fizičke veličine različitih vrsta poput krušaka i jabuka ne možemo zbrajati jer ih ne možemo svesti na iste mjerne jedinice. Ali im možemo zbrojiti masu.

Pisano zbrajanje[uredi VE | uredi]

Brojeve u bazi n zbrajamo zapisujući ih jedan ispod drugog tako da im se dekadske jedinice podudaraju. Ispod njih povučemo crtu. Zatim sdesna nalijevo zbrajamo stupac po stupac i zbroj pišemo na odgovarajuće mjesto. Ukoliko zbrajamo prazninom, prazninu zamjenjujemo nulom. Ako zbroj premašuje n - 1, pišemo njegov ostatak pri dijeljenju s n te prenosimo dalje onoliko jedinica koliko je desetica ostalo u prijašnjem zbrajanju. Primjer u bazi 10:

T S D J , d s
1 0 7 , 9 8
2 5
+ 9 3 8 , 2
1 0 7 1 , 1 8

gdje J predstavlja jedinice, D predstavlja desetice, d predstavlja desetinke itd.

Ovdje smo prilikom zbrajanja desetinki prebacivali 1 dalje, prilikom zbrajanja jedinica prebacivali 2 dalje te prilikom zbrajanja stotica prebacivali 1 dalje. Da bismo zbrojili brojeve, na prazna mjesta upisali smo nule.

Primjer u bazi 2:

0 1 1 0 1
+ 1 0 1 1 1
1 0 0 1 0 0

Ovdje smo prilikom svakog zbrajanja prebacivali 1 dalje.[4]

Razlomaka[uredi VE | uredi]

Prilikom zbrajanja, razlomci se svode na najmanji zajednički nazivnik. On je najmanji zajednički višekratnik nazivnika tih razlomaka. Nakon svođenja na zajednički nazivnik, brojnici se zbroje.[5]

Ukoliko zbrajamo razlomak i cijeli broj, cijeli broj možemo pisati kao razlomak s nazivnikom 1 te normalno svodimo razlomke na zajednički nazivnik te ih zbrojimo.

Skupova[uredi VE | uredi]

Zbrajanjem dva skupa A i B dobijemo novi skup A + B koji sadrži zbrojeve svakog elementa iz A sa svakim elementom iz B:[6]

Red[uredi VE | uredi]

Red je zbroj članova beskonačnog niza.

što znači da zbrajamo prvih n članova niza, od x1 do xn. Zbroj članova nekog niza zovemo red.

Vidi još[uredi VE | uredi]

Izvori[uredi VE | uredi]

  1. Zbrajanje. Hrvatski jezični portal. pristupljeno 28. srpnja 2016.
  2. proleksis.lzmk.hr
  3. Neutralni element. Hrvatska enciklopedija. Leksikografski zavod Miroslav Krleža. pristupljeno 28. srpnja 2016.
  4. Gold, Hrvoje. Binarno zbrajanje. Osnove digitalne elektronike. pristupljeno 28. srpnja 2016.
  5. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka. Eduvizija. pristupljeno 28. srpnja 2016.
  6. Let's Talk About Sets - Numberphile. YouTube.