Zbrajanje

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Zbrajanje je osnovna računska operacija,[1] kojom saznajemo informaciju kad dvije ili više veličina (brojeva) skupimo zajedno, koliko ih sveukupno ima. Zbrajati možemo jabuke, kruške, ovčice u snu ili ljude na plaži (prirodni brojevi), no i volumen tekućina utočenih i istočenih iz spremnika, masu hrane i neprehrambenih artikala (decimalni brojevi). Također možemo zbrajati racionalne, realne i kompleksne brojeve, kao i vektore i matrice.

U matematici zbrajanje nekih izraza predstavljamo znakom plus +, npr. 1 + 2 = 3. Brojeve koje zbrajamo nazivamo pribrojnici. Rezultat zbrajanja zovemo zbroj.

Zbrajati možemo i nizove. Želimo li zbrojiti mnogo predvidivih brojeva, kao prirodne brojeve od 1 do 100, možemo to ostvariti na dva načina. Jedan je korištenje trotočja, npr. 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100. Drugi način je korištenje grčkog slova sigma:

gdje je i indeks, 1 je donja granica, a 100 je gornja granica sume. Općenito, suma je definirana kao:

Ako zbrajamo poznate brojeve radi se o aritmetičkoj operaciji, ako zbrajamo nepoznanice zbrajanje je algebarska operacija.[2]

Svojstva[uredi VE | uredi]

5 + 0 = 5
Zbrajanje možemo zamisliti kao translaciju neke točke na brojevnom pravcu za određenu udaljenost, u ovom slučaju 2 za 4

Zbrajanje je komutativno, što znači da je a + b = b + a, tj. možemo slobodno zamijeniti mjesta pribrojnika, a zbroj se neće promijeniti.

Zbrajanje je i asocijativno, jer vrijedi ( a + b ) + c = a + ( b + c ).

Broj nula je neutralni element zbrajanja. Za svaki a vrijedi a + 0 = 0 + a = a. Nulu često zovemo i aditivni neutral zbrajanja[3].

Sljedbenik[uredi VE | uredi]

U skupu prirodnih brojeva, zbrajanjem broja n i 1 dobijemo najmanji prirodni broj veći od n, tzv. sljedbenik broja n. Na primjer, sljedbenik broja 6 je 7. Sljedbenik sljedbenika broja n jednak je n + 2. Poopćenjem k-ti po redu sljedbenik broja n jednak je n + k.

Mjerna jedinica[uredi VE | uredi]

Želimo li zbrojiti fizičke veličine, moramo ih izraziti pomoću istih mjernih jedinica. Na primjer, 2 litre vode i 5 decilitara vode možemo zapisati kao 20 + 5 = 25 decilitara vode, ili 2 + 0,5 = 2,5 litara vode. Fizičke veličine različitih vrsta poput krušaka i jabuka ne možemo zbrajati jer ih ne možemo svesti na iste mjerne jedinice. Ali im možemo zbrojiti masu.

Pisano zbrajanje[uredi VE | uredi]

Brojeve u bazi n zbrajamo zapisujući ih jedan ispod drugog tako da im se dekadske jedinice podudaraju. Ispod njih povučemo crtu. Zatim sdesna nalijevo zbrajamo stupac po stupac i zbroj pišemo na odgovarajuće mjesto. Ukoliko zbrajamo prazninom, prazninu zamjenjujemo nulom. Ako zbroj premašuje n - 1, pišemo njegov ostatak pri dijeljenju s n te prenosimo dalje onoliko jedinica koliko je desetica ostalo u prijašnjem zbrajanju. Primjer u bazi 10:

T S D J , d s
1 0 7 , 9 8
2 5
+ 9 3 8 , 2
1 0 7 1 , 1 8

gdje J predstavlja jedinice, D predstavlja desetice, d predstavlja desetinke itd.

Ovdje smo prilikom zbrajanja desetinki prebacivali 1 dalje, prilikom zbrajanja jedinica prebacivali 2 dalje te prilikom zbrajanja stotica prebacivali 1 dalje. Da bismo zbrojili brojeve, na prazna mjesta upisali smo nule.

Primjer u bazi 2:

0 1 1 0 1
+ 1 0 1 1 1
1 0 0 1 0 0

Ovdje smo prilikom svakog zbrajanja prebacivali 1 dalje.[4]

Razlomaka[uredi VE | uredi]

Prilikom zbrajanja, razlomci se svode na najmanji zajednički nazivnik. On je najmanji zajednički višekratnik nazivnika tih razlomaka. Nakon svođenja na zajednički nazivnik, brojnici se zbroje.[5]

Ukoliko zbrajamo razlomak i cijeli broj, cijeli broj možemo pisati kao razlomak s nazivnikom 1 te normalno svodimo razlomke na zajednički nazivnik te ih zbrojimo.

Skupova[uredi VE | uredi]

Zbrajanjem dva skupa A i B dobijemo novi skup A + B koji sadrži zbrojeve svakog elementa iz A sa svakim elementom iz B:[6]

Red[uredi VE | uredi]

Red je zbroj članova beskonačnog niza.

što znači da zbrajamo prvih n članova niza, od x1 do xn. Zbroj članova nekog niza zovemo red.

Vidi još[uredi VE | uredi]

Izvori[uredi VE | uredi]