Zbrajanje

Zbrajanje je osnovna računska operacija, kojom saznajemo informaciju kad dvije ili više veličina (brojeva) skupimo zajedno, koliko ih sveukupno ima. Zbrajati možemo jabuke, kruške, ovčice u snu ili ljude na plaži (prirodni brojevi), no i volumen tekućina utočenih i istočenih iz spremnika, masu hrane i neprehrambenih artikala (decimalni brojevi). Također možemo zbrajati racionalne, realne i kompleksne brojeve, kao i vektore i matrice.

U matematici zbrajanje nekih izraza predstavljamo znakom plus +, npr. 1 + 2 = 3. Brojeve koje zbrajamo nazivamo pribrojnici. Rezultat zbrajanja zovemo zbroj.

Zbrajati možemo i nizove. Želimo li zbrojiti mnogo predvidivih brojeva, kao prirodne brojeve od 1 do 100, možemo to ostvariti na dva načina. Jedan je korištenje trotočja, npr. 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100. Drugi način je korištenje grčkog slova sigma ∑:

$\sum _{i{\mathop {=}}1}^{100}i=1+2+3+\dots +100.$$\sum _{i{\mathop {=}}1}^{100}i=1+2+3+\dots +100.$

gdje je i indeks, 1 je donja granica, a 100 je gornja granica sume. Općenito, suma je definirana kao:

$\sum _{i{\mathop {=}}m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+\dots +a_{n-1}+a_{n}.$$\sum _{i{\mathop {=}}m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+\dots +a_{n-1}+a_{n}.$

Ako zbrajamo poznate brojeve radi se o aritmetičkoj operaciji, ako zbrajamo nepoznanice zbrajanje je algebarska operacija.^{[Neaktivna poveznica]}

Svojstva

5 + 0 = 5

Zbrajanje možemo zamisliti kao translaciju neke točke na brojevnom pravcu za određenu udaljenost, u ovom slučaju 2 za 4

Zbrajanje je komutativno, što znači da je a + b = b + a, tj. možemo slobodno zamijeniti mjesta pribrojnika, a zbroj se neće promijeniti.

Zbrajanje je i asocijativno, jer vrijedi ( a + b ) + c = a + ( b + c ).

Broj nula je neutralni element zbrajanja. Za svaki a vrijedi a + 0 = 0 + a = a. Nulu često zovemo i aditivni neutral zbrajanja.

Sljedbenik

U skupu prirodnih brojeva, zbrajanjem broja n i 1 dobijemo najmanji prirodni broj veći od n, tzv. sljedbenik broja n. Na primjer, sljedbenik broja 6 je 7. Sljedbenik sljedbenika broja n jednak je n + 2. Poopćenjem k-ti po redu sljedbenik broja n jednak je n + k.

Mjerna jedinica

Želimo li zbrojiti fizičke veličine, moramo ih izraziti pomoću istih mjernih jedinica. Na primjer, 2 litre vode i 5 decilitara vode možemo zapisati kao 20 + 5 = 25 decilitara vode, ili 2 + 0,5 = 2,5 litara vode. Fizičke veličine različitih vrsta poput krušaka i jabuka ne možemo zbrajati jer ih ne možemo svesti na iste mjerne jedinice. Ali im možemo zbrojiti masu.

Pisano zbrajanje

Brojeve u bazi n zbrajamo zapisujući ih jedan ispod drugog tako da im se dekadske jedinice podudaraju. Ispod njih povučemo crtu. Zatim sdesna nalijevo zbrajamo stupac po stupac i zbroj pišemo na odgovarajuće mjesto. Ukoliko zbrajamo prazninom, prazninu zamjenjujemo nulom. Ako zbroj premašuje n - 1, pišemo njegov ostatak pri dijeljenju s n te prenosimo dalje onoliko jedinica koliko je desetica ostalo u prijašnjem zbrajanju. Primjer u bazi 10:

T	S	D	J	,	d	s
	1	0	7	,	9	8
		2	5
+	9	3	8	,	2
1	0	7	1	,	1	8

gdje J predstavlja jedinice, D predstavlja desetice, d predstavlja desetinke itd.

Ovdje smo prilikom zbrajanja desetinki prebacivali 1 dalje, prilikom zbrajanja jedinica prebacivali 2 dalje te prilikom zbrajanja stotica prebacivali 1 dalje. Da bismo zbrojili brojeve, na prazna mjesta upisali smo nule.

Primjer u bazi 2:

		0	1	1	0	1
+		1	0	1	1	1
	1	0	0	1	0	0

Ovdje smo prilikom svakog zbrajanja prebacivali 1 dalje.

Razlomaka

Prilikom zbrajanja, razlomci se svode na najmanji zajednički nazivnik. On je najmanji zajednički višekratnik nazivnika tih razlomaka. Nakon svođenja na zajednički nazivnik, brojnici se zbroje.

${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}={\frac {1\times 3}{4\times 3}}+{\frac {1\times 4}{3\times 4}}={\frac {3}{12}}+{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.$${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}={\frac {1\times 3}{4\times 3}}+{\frac {1\times 4}{3\times 4}}={\frac {3}{12}}+{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.$

Ukoliko zbrajamo razlomak i cijeli broj, cijeli broj možemo pisati kao razlomak s nazivnikom 1 te normalno svodimo razlomke na zajednički nazivnik te ih zbrojimo.

${\frac {3}{4}}+2={\frac {3}{4}}+{\frac {2}{1}}={\frac {3}{4}}+{\frac {8}{4}}={\frac {11}{4}}=2{\frac {3}{4}}$${\frac {3}{4}}+2={\frac {3}{4}}+{\frac {2}{1}}={\frac {3}{4}}+{\frac {8}{4}}={\frac {11}{4}}=2{\frac {3}{4}}$

Skupova

Zbrajanjem dva skupa A i B dobijemo novi skup A + B koji sadrži zbrojeve svakog elementa iz A sa svakim elementom iz B:

$A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}.$$A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}.$

Red

Red je zbroj članova beskonačnog niza.

$\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\dots ,$$\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\dots ,$

što znači da zbrajamo prvih n članova niza, od x₁ do x_n. Zbroj članova nekog niza zovemo red.

Vidi još

• Dekadski brojevni sustav
• Oduzimanje
• Množenje
• Prirodni broj