Obična diferencijalna jednadžba

Obična diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba u kojoj se pojavljuju n-te derivacije nepoznate funkcije $y$ jedne varijable, za razliku od parcijalne diferencijalne jednadžbe koja uključuje funkcije više varijabli i njihove parcijalne derivacije. Linearne diferencijalne jednadžbe se posebno proučavaju jer se često pojavljuju u primjenama matematike, a i nelinearne diferencijalne jednadžbe se nastoje aproksimirati pomoću linearnih. Ako su $a_{0},a_{1},\dots ,a_{n},g$ realne funkcije i $a_{0}\neq 0$, onda linearna diferencijalna jednadžba ima oblik:

$a_{0}(x)y^{(n)}(x)+a_{1}(x)y^{(n-1)}(x)+\dots +a_{n-1}(x)y'(x)+a_{n}(x)y(x)=g(x)$

Rješenje te jednadžbe je općenito neki skup funkcija $X$. Ako su još zadani realni brojevi $x_{0},C_{1},\dots ,C_{n}$ takvi da:

$y(x_{0})=C_{1},y'(x_{0})=C_{2},\dots ,y^{(n-1)}(x_{0})=C_{n}$

onda je rješenje partikularno rješenje iz skupa $X$, a problem nalaženja takvog rješenja Cauchyev problem.

Ako je $g\neq 0$ onda je jednadžba nehomogena, u suprotnom slučaju homogena, a funkcije $a_{k}$ su koeficijenti jednadžbe. Takva jednadžba je linearna jer je funkcija:

$F(t,x_{0},\dots ,x_{n})=a_{0}(t)x_{n}+\dots +a_{n}(t)x_{0}-g(t)$

polinom prvog stupnja u varijablama $x_{0},\dots ,x_{n}$. Pomoću funkcije $F$ jednadžba se može zapisati:

$F(x,y,y',\dots ,y^{(n)})=0$

i takav oblik je općenito obična diferencijalna jednadžba n-tog reda.

Literatura

• Demidovič, B.P. 2003. Zadaci i riješeni primjeri iz matematičke analize za tehničke fakultete. Golden marketing, Tehnička knjiga. Zagreb. str. 311–352. ISBN 953-212-149-8