Binomni koeficijent: razlika između inačica
mNema sažetka uređivanja |
Ljepša matematika |
||
Redak 1: | Redak 1: | ||
[[Datoteka:Pascal's_triangle_5.svg|desno|mini|200x200px|Binomni koeficijenti mogu biti organizirani u obliku Pascalova trokuta]] |
[[Datoteka:Pascal's_triangle_5.svg|desno|mini|200x200px|Binomni koeficijenti mogu biti organizirani u obliku Pascalova trokuta]] |
||
U [[Matematika|matematici]], '''binomni koeficijent''' je pozitivni [[cijeli broj]], koji se pojavljuje kao [[koeficijent]] [[Binomni poučak|binomnog poučka]]. Indeksira se dvama ne-negativnim cijelim brojevima; binomni koeficijent s indeksima ''n'' i ''k'' obično se zapisuje kao: |
|||
⚫ | |||
U [[Matematika|matematici]], '''binomni koeficijent''' je pozitivni [[cijeli broj]], koji se pojavljuje kao [[koeficijent]] [[Binomni poučak|binomnog poučka]]. Indeksira se dvama ne-negativnim cijelim brojevima; binomni koeficijent s indeksima ''n'' i ''k'' obično se zapisuje kao <math>\tbinom nk</math> (i čita se ''n'' iznad ili povrh ''k''). To je [[koeficijent]] člana ''x''<sup> ''k''</sup> polinomne ekspanzije binomne potencije oblika (1 + ''x'')<sup> ''n''</sup>. Pod odgovarajućim okolnostima vrijednost koeficijenta definirana je izrazom <math>\tfrac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>. Organizacija binomnih koeficijenata u redove uzastopnih vrijednosti ''n'', u kojem ''k ''ima vrijednosti od 0 do ''n'', daje [[Pascalov trokut]]. |
|||
<math>\binom{n}{k}</math> |
|||
(i čita se ''n'' iznad ili povrh ''k''). To je [[koeficijent]] člana <math>x^k</math> polinomne ekspanzije binomne potencije oblika <math>(1 + x)^n</math>. Pod odgovarajućim okolnostima vrijednost koeficijenta definirana je izrazom: |
|||
<math>\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> |
|||
Organizacija binomnih koeficijenata u redove uzastopnih vrijednosti ''n'', u kojem ''k ''ima vrijednosti od 0 do ''n'', daje [[Pascalov trokut]]. |
|||
Binomni koeficijenti su važan dio mnogih područja matematike, posebno u području [[Kombinatorika|kombinatorike]]. |
Binomni koeficijenti su važan dio mnogih područja matematike, posebno u području [[Kombinatorika|kombinatorike]]. |
||
Redak 23: | Redak 30: | ||
gdje je u nazivniku razlomka funkcija [[faktorijel]]. |
gdje je u nazivniku razlomka funkcija [[faktorijel]]. |
||
Dano proširenje binomnog koeficijenta na [[Realni broj|realne brojeve]] nam omogućuje da npr. izračunamo izraze poput <math>\binom{\frac{-1}{2}}{k}</math> ili, između ostalog, da se <math>(1 + x)^{\alpha}</math> razvije u [[Red (matematika)|red]] za <math>x \in |
Dano proširenje binomnog koeficijenta na [[Realni broj|realne brojeve]] nam omogućuje da npr. izračunamo izraze poput <math>\binom{\frac{-1}{2}}{k}</math> ili, između ostalog, da se <math>(1 + x)^{\alpha}</math> razvije u [[Red (matematika)|red]] za <math>x \in (-1, 1)</math>. |
||
⚫ | |||
== Izvori == |
== Izvori == |
Inačica od 19. prosinca 2017. u 15:40
U matematici, binomni koeficijent je pozitivni cijeli broj, koji se pojavljuje kao koeficijent binomnog poučka. Indeksira se dvama ne-negativnim cijelim brojevima; binomni koeficijent s indeksima n i k obično se zapisuje kao:
(i čita se n iznad ili povrh k). To je koeficijent člana polinomne ekspanzije binomne potencije oblika . Pod odgovarajućim okolnostima vrijednost koeficijenta definirana je izrazom:
Organizacija binomnih koeficijenata u redove uzastopnih vrijednosti n, u kojem k ima vrijednosti od 0 do n, daje Pascalov trokut.
Binomni koeficijenti su važan dio mnogih područja matematike, posebno u području kombinatorike.
Neka svojstva binomnih koeficijenata
Svojstvo simetrije:[1]
Osnovna relacija iz Pascalovog trokuta:[2]
Binomni koeficijent u matematičkoj analizi[3]
Za proizvoljan realni broj binomni koeficijent se definira formulama:
gdje je u nazivniku razlomka funkcija faktorijel.
Dano proširenje binomnog koeficijenta na realne brojeve nam omogućuje da npr. izračunamo izraze poput ili, između ostalog, da se razvije u red za .
Izvori
- ↑ Neven Elezović: Matematika 4 (udžbenik za IV. razred gimnazije), Element, Zagreb, 2000. (str. 18)
- ↑ Neven Elezović: Matematika 4 (udžbenik za IV. razred gimnazije), Element, Zagreb, 2000. (str. 20)
- ↑ Svetozar Kurepa: Matematička analiza 2 funkcije jedne varijable, Tehnička knjiga, Zagreb, 1971. (str. 108-110)