Integral

Ovo je glavno značenje pojma Integral. Za druga značenja, pogledajte Integral (razdvojba).

Integral od f(x) od a do b je površina iznad x-osi i ispod krivulje y = f(x), minus površina ispod x-osi i iznad krivulje, za x u intervalu [a,b].

Integral je ključna koncepcija više matematike, napose područja infinitezimalnog računa i matematičke analize. Za danu funkciju f(x) realne varijable x i interval [a,b] na pravcu realnih brojeva, integral

$\int_a^b f(x)dx$

predstavlja površinu područja u xy-ravnini ograničenu grafom od f, x-osi, i okomitim crtama x=a i x=b.

Ideju su integriranja oblikovali u kasnom sedamnaestom stoljeću Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz. Skupa s konceptom derivacije, integral je postao osnovni alat infinitezimalnog računa, s brojnim primjenama u znanosti i inženjerstvu. Integriranje i deriviranje su povezani osnovnim stavkom integralnog računa.

Definicija

Zbroj površina okomitih odsječaka približava se traženoj kurvilinearnoj površini dočim širina odsječaka (na apscisi) teži nuli.

Jednu od prvih rigoroznih matematičkih definicija integrala dao je Bernhard Riemann. Zasnovana je na postupku limesa koji aproksimira površinu kurvilinearnog područja razbijanjem u vertikalne odsječke. Počevši od devetnaestog stoljeća, pojavljuju se složenije oznake integriranja, pri čemu se poopćuje tip funkcije i domena integracije. Krivuljni integral je definiran za funkcije dvije ili tri varijable, i interval integracije [a,b] je zamijenjen određenim krivuljama koje spajaju dvije točke ravnine ili prostora. U plošnom integralu, krivulja je zamijenjena dijelom plohe trodimenzionalnog prostora. Integrali diferencijalnih formi igraju fundamentalnu ulogu u suvremenoj diferencijalnoj geometriji. Ova su poopćenja integrala prvotno iznikla iz potreba fizike, i igraju značajnu ulogu u oblikovanju fizikalnih zakona, napose u elektrodinamici. Apstraktnu matematičku teoriju poznatu kao Lebesque integracija je razvio Henri Lebesgue.

Naziv "integral" se također može odnositi sinonimno na značenje onoga od antiderivacije, funkcije F čija je derivacija dana funkcija f. U ovom se slučaju zove neodređenim integralom, dok su integrali o kojima se raspravlja u ovom članku naslovljeni određenima. Osnovni stavak integralnog računa tvrdi da se antiderivacija može rabiti za računanje integrala nad intervalom, po formuli

$\int_a^b \! f(x)\,dx = F(b) - F(a)\,$

Nedovršeni članak Integral koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.