Integral

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži
Disambig.svg Ovo je glavno značenje pojma Integral. Za druga značenja, pogledajte Integral (razdvojba).
Integral od f(x) od a do b je površina iznad x-osi i ispod krivulje y = f(x), umanjena za površinu ispod x-osi i iznad krivulje, za x u intervalu [a,b].

Integral je ključna koncepcija više matematike, napose područja infinitezimalnog računa i matematičke analize. Ideju su integriranja oblikovali u kasnom sedamnaestom stoljeću Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz. Skupa s konceptom derivacije, integral je postao osnovni alat infinitezimalnog računa, s brojnim primjenama u znanosti i inženjerstvu. Integriranje i deriviranje su povezani osnovnim stavkom integralnog računa. Pod kolokvijalnim pojmom "integral" podrazumijevaju se dva, u matematici bitno različita pojma - određeni i neodređeni integral.

Određeni integral[uredi VE | uredi]

Za danu funkciju f(x) realne varijable x i interval [a,b] na pravcu realnih brojeva, integral

\int_a^b f(x)dx

predstavlja površinu područja u xy-ravnini ograničenu grafom od f, x-osi, i okomitim pravcima x=a i x=b.

Zbroj površina okomitih odsječaka približava se traženoj površini ispod krivulje kada širina odsječaka (na apscisi) teži nuli.

Jednu od prvih rigoroznih matematičkih definicija određenog integrala dao je Bernhard Riemann. Zasnovana je na postupku graničnih vrijednosti pravokutnih površina kojima se aproksimira površina između krivulje i x-osi, njezinim dijeljenjem (razdiobom, subdivizijom) u vertikalne pravokutne odsječke. Pri tome se promatraju dvije aproksimacije; aproksimacija površinama većima od tražene površine, te aproksimacija površinama manjima od tražene površine. Te se aproksimacije nazivaju gornjom i donjom integralnom (ili Darboux-ovom) sumom. Ukoliko se smanjivanjem širine intervala nad kojima su konstruirane aproksimativne površine, na način da maksimalna širina intervala razdiobe teži ka nuli, dobije konačna granična vrijednost, te ukoliko je ta granična vrijednost jednaka za gornju i donju integralnu sumu, kažemo da određeni integral postoji i poprima vrijednost tog graničnog izraza (limesa)[1].

Počevši od devetnaestog stoljeća, pojavljuju se složenije oznake integriranja, pri čemu se poopćuje tip funkcije i domena integracije. Krivuljni integral je definiran za funkcije dvije ili tri varijable, i interval integracije [a,b] je zamijenjen određenim krivuljama koje spajaju dvije točke ravnine ili prostora. U plošnom integralu, krivulja je zamijenjena dijelom plohe trodimenzionalnog prostora. Integrali diferencijalnih formi igraju fundamentalnu ulogu u suvremenoj diferencijalnoj geometriji. Ova su poopćenja integrala prvotno iznikla iz potreba fizike, i igraju značajnu ulogu u oblikovanju fizikalnih zakona, napose u elektrodinamici. Apstraktnu matematičku teoriju poznatu kao Lebesque integracija je razvio Henri Lebesgue.

Neodređeni integral[uredi VE | uredi]

Neodređeni integral, u oznaci

 \int f(x)dx

predstavlja potpuno drugi pojam. Njime označavamo "antiderivaciju", tj. ako s  F(x) označimo  F(x) = \int f(x)dx , tada je F'(x) = f(x) . Funkcija F(x) naziva se "primitivnom funkcijom" funkcije f(x), ili njenom "antiderivacijom". Smisao tog matematičkog pojma je, za zadanu funkciju (f(x)) odrediti funkciju (F(x)) koja deriviranjem daje početnu funkciju[2].

Na primjer, ukoliko je  f(x) =2x , tj. ukoliko pokušamo odrediti  \int 2x \, dx , lako je vidjeti da je  F(x) = x^2 , budući je derivacija od  x^2 upravo  2x . No to nije jedina takva funkcija! Izraz  2x možemo također dobiti deriviranjem izraza  x^2 + 1,  x^2 - 10 ili npr.  x^2 + 100.

Lako se vidi da se svake dvije antiderivacije razlikuju za konstantu, tj. vrijedi ako su F(x) i G(x) dvije antiderivacije funkcije f(x) da je tada F(x) = G(x) + C, gdje je C neki realan broj. Zbog toga se u općem zapisu antiderivacije prilikom rješavanja neodređenih integrala u rješenju pojavljuje zapis "+C".

Antiderivacije za osnovne funkcije obično se navode u tablici osnovnih (neodređenih) integrala.

Osnovni teorem integralnog računa[uredi VE | uredi]

Osnovni teorem integralnog računa (koji se često, po tvorcima, naziva i Newton-Leibnitzovom formulom) daje nam vezu određenog i neodređenog integrala. Njime je dokazano da se vrijednost određenog integrala (dakle, površina) može računati pomoću neodređenog integrala (dakle, antiderivacije) po formuli:

\int_a^b \! f(x)\,dx = F(b) - F(a)\,

gdje je F(x) primitivna funkcija (antiderivacija) funkcije f(x).

Metode integriranja[uredi VE | uredi]

Za razliku od deriviranja, integriranje je puno složeniji postupak. Dok poznavanjem tablice derivacija elementarnih funkcija i pravila za deriviranje (zbroja, razlike, umnoška, kvocjenta i složene funkcije) možemo derivirati svaku funkciju, kod integriranja postupak nije tako jednostavan. Integriranje poznaje samo dva (elementarna) pravila:

  • Pravilo za integriranje funkcije pomnožene skalarom
 \int A \cdot f(x) \, dx = A \cdot \int f(x) \, dx
  • Pravilo za integriranje zbroja i razlike funkcija
 \int ( f(x) \pm g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx

Ne postoje pravila za integriranje umnoška, kvocjenta ili složene funkcije, a mnogi integrali su dokazano nerješivi pomoću elementarnih funkcija, poput integrala  \int e^{x^2} \, dx .

Tri osnovne metode koje koristimo za rješavanje integrala su[3]:


Metoda neposredne integracije je metoda u kojoj je cilj podintegralnu funkciju f(x) zapisati na matematički ekvivalentan način, ali koji omogućuje integriranje pomoću tablice osnovnih integrala. Na primjer, ne postoji pravilo za integriranje umnoška  \int ( x \cdot \sqrt x) \, dx , no ukoliko podintegralnu funkciju zapišemo svođenjem izraza na zajedničku bazu x,  \int x^{\frac{3}{2}} \, dx , integral rješavamo uz pomoć tablice osnovnih integrala.

Metoda supstitucije je metoda kojom se dio ili cijela podintegralna funkcija zamijenila jednostavnijim izrazom.

Metoda parcijalne integracije je metoda čija je osnovna formula izvedena iz formule za deriviranje umnoška. Smisao metode je, prema postupku opisanom formulom, dio podintegralne funkcije derivirati, a dio integrirati (otuda i naziv parcijalna integracija). Cilj je pažljivim odabirom metodu provesti kako bi se nakon upotrebe metode dobio jednostavniji oblik integrala

Izvori[uredi VE | uredi]