Möbiusova vrpca

Möbiusova vrpca

Möbiusova vrpca (eng. Möbius band, njem. Möbiusband), Möbiusova petlja ili Möbiusova ploha je jednostrana površina (ploha) nastala zakretanjem jedne stranice pravokutne vrpce za 180 stupnjeva i njezinim prianjanjem sa suprotnom stranicom. Obilaskom po vrpci mijenja se smjer okomice u suprotan. Drugim riječima, to je jednostrana ploha s jednom neprekidnom orijentacijom. Otkrili su je njemački matematičari August Ferdinand Möbius i Johan Benedikt Listing 1858. godine, neovisno jedan o drugomu, no prozvana je po Möbiusu.

August Ferdinand Möbius

Möbiusova vrpca nije površina jedinstvene veličine i oblika. Naime, matematičari smatraju Möbiusovom vrpcom bilo koju površinu koja je homeomorfna s njom. Njezina granica je jednostavna zatvorena krivulja, odnosno homeomorfna je kružnici. To omogućava razne geometrijske inačice Möbiusove vrpce, gdje svaka ima određenu veličinu i oblik.

Poluokret u smjeru kazaljke na satu daje drukčiju vrstu vrpce u odnosu na poluokret u suprotnomu smjeru. To znači da je, kao objekt u euklidskom prostoru, Möbiusova vrpca kiralni objekt pozitivne ili negativne orijentacije. Postoji beskonačno mnogo topološki različitih utapanja istoga topološkog prostora u trodimenzijski prostor, što znači da se i Möbiusova vrpca može oblikovati na više načina, primjerice, uvrtanjem vrpce neparan broj puta ili vezivanjem iste u čvor i uvrtanjem (prije spajanja krajeva).

Izvrnuti papirni model Möbiusove vrpce površina je Gaussove krivulje nula. Sustav diferencijalno-algebarskih jednadžbi koji opisuje modele ove vrste objavljen je 2007. godine zajedno s rješenjem.

Eulerova osobina Möbiusove vrpce je nula.

Svojstva

Möbiusova vrpca ima nekoliko zanimljivih svojstava. Kao primjer se često navodi mrav koji hoda duž nje. Nakon jednoga obilaska naći će se sa suprotne strane svoje početne točke, a nakon dva, u svojoj početnoj točki.

Rezanjem Möbiusove vrpce po sredini dobiva se jedna duža vrpca s dva puna obrta, a ne dvije odvojene trake, kao što bi se očekivalo. Dobivena vrpca nije Möbiusova.

S druge strane, ako se Möbiusova vrpca ne reže po sredini, već na razdaljini od jedne trećine svoje širine do ruba, rezultat sječenja bit će dvije vrpce: kraća, koja jest Möbiusova, i duža, koja sadrži dva puna obrta (i koja nije Möbiusova i koja bi se inače dobila rezanjem početne vrpce na dva dijela).

Uopćeno, prepolavljanjem trake koja ima 2n-1 poluobrta, dobiva se traka s 2n punih obrta. Presijecanjem trake koja ima 2n poluobrta, dobivaju se dvije iste takve vrpce, međusobno uvijene n puta. Na primjer, za n = 2, nakon rezanja će jedna vrpca biti dva puta omotana oko druge. Za n = 1 dobit će se dvije karike lanca.

Dodavanjem još obrta i spajanjem krajeva dobivaju se figure koje se nazivaju paradromski prsteni.

Rezanje Möbiusove vrpce po sredini

Rezanje vrpce po trećini širine

Usmjerenost

Obilazak okomice oko vrpce

Površina je usmjerena ako za proizvoljnu jednostavnu zatvorenu krivulju na toj površini i bilo koju točku na toj krivulji vrijedi sljedeće: normalni vektor u toj točki neprekidnim kretanjem duž krivulje vraća se u svoj početni položaj bez promjene smjera.

Neusmjerenost Möbiusove vrpce može se dokazati i ako se ona predstavi poliedarski. Tada je tablica povezanosti tjemena, rub i plohe ovoga modela:

T = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\};

I = \{03, 32, 21, 10, 24, 45, 53, 40, 15\};

p_0 = \langle 0, 3, 2, 1\rangle,\ p_1 = \langle 3, 2, 4, 5\rangle,\ p_2 = \langle 4, 0, 1, 5\rangle;

gdje T predstavlja skup tjemena, I skup rubova, a p_k su plohe.

Poliedarski prikaz Möbiusove vrpce s trima plohama

Poliedarska površina je usmjerena ako se može uskladiti orijentacija susjednih plohi, odnosno, kada svake dvije susjedne plohe induciraju suprotnu orijentaciju zajedničkoga ruba.

Usmjerenja (orijentacije) Möbiusove vrpce ne mogu se uskladiti, što se može dokazati promatrajući najjednostavniji poliedarski model Möbiusove vrpce. Pritom se uočava kako su sve tri plohe susjedne. To znači da orijentacija svake plohe mora da biti usklađena s ostalim dvjema. Ako se uskladi orijentacija p_1 s p_0, dobiva se: p_1 = <5, 4, 2, 3>. Tada je p_2 s p_1 usklađeno, ali p_2 s p_0 nije. Promjenom orijentacije p_0, ona više neće biti usklađena s p_1.

Eulerova osobina

Formula za izračunavanje Eulerove osobine poliedarske površine je sljedeća:

\chi=T-I+P,

gdje je T broj tjemena, I broj rubova, a P broj ploha.

Geometrija i topologija

Parametarski prikaz Möbiusove vrpce

Jedan način za predstavljanje Möbiusove vrpce kao podskupa R3 je putem parametrizacije:

x(u,v)= \left(1+\frac{v}{2} \cos \frac{u}{2}\right)\cos u

y(u,v)= \left(1+\frac{v}{2} \cos\frac{u}{2}\right)\sin u

z(u,v)= \frac{v}{2}\sin \frac{u}{2},

gdje je \, 0 \leq u < 2\pi\, i \, -1 \leq v \leq 1\,. Ovo daje Möbiusovu vrpcu širine 1, čija središnja kružnica ima polumjer 1, leži u Oxy ravni i središte joj je u koordinatnom početku. Parametar u kreće se duž vrpce, dok v ide od jednoga ruba do drugog. U cilindričnim koordinatama Möbiusova vrpca može se predstaviti pomoću jednadžbe:

Da bi se napravila Möbiusova vrpca od kvadrata, treba spojiti stranice tako da se strelice poklope

\log(r)\sin\left(\frac{1}{2}\theta\right)=z\cos\left(\frac{1}{2}\theta\right).

Topologija

Topološki, Möbiusova vrpca može se odrediti kao kvadrat[0,1] \times [0,1] s identifikacijom (x,0) ~ (1-x,1) za 0 \leq x \leq 1. Möbiusova vrpca na ovaj je način predstavljena kao površina s povezanom granicom. Neusmjerena je i uzima se kao savršen primjer topološke osobine neorijentabilnosti iz sljedećih razloga:

• Ne postoje neorijentabilne mnogostrukosti dimenzije manje od dva.
• Möbiusova vrpca je površina koja predstavlja topološki potprostor svake neorijentabilne površine, iz čega slijedi da je dana površina neorijentabilna ako i samo ako sadrži Möbiusovu vrpcu kao svoj podprostor.

Računarska grafika

Često se koristi u računarskoj grafici ili softverskim paketima za modeliranje.

Na primjer, u softwareu 3D Studio Max, Möbiusova vrpca dobiva se iscrtavanjem kvadrata (plane) i primjenom modifikatora twist i bend za po 180º i 360º.

Stvaranje Möbiusove vrpce svijanjem pravokutnika

Slični objekti

Slaganje Kleinove boce od dviju Möbiusovih vrpci

Möbiusova je vrpca usko povezana s Kleinovom bocom. Boca se može dobiti spajanjem dviju Möbiusovih vrpca po njihovim granicama. Međutim, ovo se u trodimenzijskome euklidskom prostoru ne može postići bez samopresjeka.

Još jedan sličan objekt je realna projekcijska ravnina koja se dobiva lijepljenjem Möbiusove vrpce i diska po njihovim rubovima. Također, ne može biti ostvarena u trodimenzijskome prostoru bez samopresjeka.

U teoriji grafova, Möbiusove ljestve su 3-regularan graf s 2n čvorova. Ovakvi grafovi nose ovo ime jer u sebi (osim u slučaju kada je broj čvorova šest, tj. n=3) sadrže točno n ciklusa dužine 4 čijim se spajanjem po zajedničkim rubovima dobiva Möbiusova vrpca.

Primjena

Möbiusova vrpca, zbog svojih osobina, nalazi brojne primjene u raznim područjima. Koristi se u fizici i elektrotehnici.

U elektrotehnici se uporabljuje u proizvodnji niskoomskih neinduktivnih otpornika, posebice u visokofrekvencijskim i impulsnim uređajima, sustava kondenzatora u visokofrekvencijskim sklopovima, mikrovalnih rezonatora i filtara.

U tvornicama se koristi kao tekuća vrpca. Na taj način je svaki dio vrpce opterećen istom težinom, te je ona dugotrajnija. Ista ideja se primjenjivala i u industriji kaseta (kako bi se udvostručilo vrijeme trajanja snimki). Uporabljuje se i u proizvodnji pisača i pisaćih strojeva.

Möbiusov otpornik je element elektronskoga kola, koji ima svojstvo poništavanja vlastite indukcijske reaktante. Nikola Tesla je početkom dvadesetoga stoljeća patentirao sličnu tehnologiju, koju je namjeravao koristiti u svojemu sustavu za svjetski bežični prijenos elektriciteta.

Nadahnuće je za veliki broj umjetničkih djela. Nalazi se ispred ulaza u Muzej američke povijesti u Washingtonu.

Nalazila se na brazilskoj poštanskoj markici 1967. godine, a na belgijskoj 1969. godine.

Möbiusova vrpca je usvojena kao međunarodni znak za oporabu. Na logotipu je Google Drive-a.

Simbol Google Drive servisa

Međunarodni simbol za oporabu

Vanjske poveznice

• MathWorld (engl.)
• cut-the-knot.org (engl.)