Kvaternion: razlika između inačica
m uklonjena kategorija Brojevi; dodana kategorija Kompleksni brojevi uz pomoć dodatka HotCat |
+matematička svojstva |
||
Redak 8: | Redak 8: | ||
:<math>\ ki=-ik=j</math> |
:<math>\ ki=-ik=j</math> |
||
Skup kvaterniona se označava sa <math>\mathbb{H}</math> u čast [[irska|irskom]] [[matematičar]]u [[William Rowan Hamilton|Williamu Rowanu Hamiltonu]], koji ih je prvi formulirao. |
Skup kvaterniona se označava sa <math>\mathbb{H}</math> u čast [[irska|irskom]] [[matematičar]]u [[William Rowan Hamilton|Williamu Rowanu Hamiltonu]], koji ih je prvi formulirao. |
||
== Definicija == |
|||
U trodimenzionalnom prostoru, jedinični vektori triju dimenzija zapisuju se pomoću kvaterniona. |
|||
Kvaternion <math>q = a + b\,\mathbf{i} + c\,\mathbf{j} + d\,\mathbf{k}</math>, sastoji se od [[Skalar|skalarnog]] dijela ''a'' i [[Vektor|vektorskog]] dijela (kvaternion <math> b\,\mathbf{i} + c\,\mathbf{j} + d\,\mathbf{k}</math>). |
|||
=== Prostorne matematičke operacije === |
|||
==== Konjugacija ==== |
|||
'''Konjugacija''' je involucijska inverzna operacija, gdje operacija konugacije izvedena dvaput uzastopno vraća izvorni element. Za original <math>q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k}</math>, konjugat '''q*''' znosi <math> q^{*}=a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k}</math>. Konjugat se također može izraziti matematičkim operacijama zbrajanja i množenja, što nije slučaj sa kompleksnim brojevima: |
|||
:<math>q^* = - \frac{1}{2} (q + \,\mathbf i \,q \,\mathbf i + \,\mathbf j \,q \,\mathbf j + \,\mathbf k \,q \,\mathbf k)~.</math> |
|||
Operacija konjugacije može se koristiti za dobivanje skalarnog i vektorskog dijela kvaterniona. Skalarni dio dobiva se formulom <math>\frac{1}{2}(p+p^*)</math> dok je vektorski dio jednak <math>\frac{1}{2}(p-p^*)</math>. |
|||
==== Modul ili norma ==== |
|||
Kvadratni korijen umnoška kvaterniona i njegovog konjugata naziva se '''modulom''' ili '''normom kvaterniona'''. Modul predstavlja duljinu kvaterniona unutar prostora: |
|||
<math>\|q\| = \sqrt{qq^*} = \sqrt{q^*q} = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}</math> |
|||
==== Jedinični kvaternion ==== |
|||
'''Jedinični kvaternion''' je kvaternion kojemu je modul jednak 1. Operacija podjele kvaterniona i njegovog modula uvijek će dati jedinični kvaternion, još zvan i '''[[Verzor|verzorom]]''' tog kvaterniona: |
|||
<math>U_q = \frac{q}{\|q\|}</math> |
|||
[[Polarne koordinate]] kvaterniona moguće je zapisati kao umnožak modula (duljine) i jediničnog kvaterniona: <math>q=\|q\| \cdot U_q</math>. |
|||
Recipročni kvaternion moguće je opisati kao količnik konjugata i norme: |
|||
<math>q^{-1}=\frac{q^*}{\|q\|}</math> |
|||
{{mrva-mat}} |
{{mrva-mat}} |
Inačica od 21. veljače 2021. u 02:00
U matematici, kvaternioni su algebarsko proširenje kompleksnih brojeva. Za razliku od kompleksnih brojeva, kvaternioni imaju tri imaginarne jedinice, koje se označavaju sa i, j i k i za koje vrijedi:
Ova relacija je definicija imaginarnih jedinica kvaterniona.
Za razliku od kompleksnih i realnih brojeva, množenje kvaterniona nije komutativno i vrijedi:
Skup kvaterniona se označava sa u čast irskom matematičaru Williamu Rowanu Hamiltonu, koji ih je prvi formulirao.
Definicija
U trodimenzionalnom prostoru, jedinični vektori triju dimenzija zapisuju se pomoću kvaterniona.
Kvaternion , sastoji se od skalarnog dijela a i vektorskog dijela (kvaternion ).
Prostorne matematičke operacije
Konjugacija
Konjugacija je involucijska inverzna operacija, gdje operacija konugacije izvedena dvaput uzastopno vraća izvorni element. Za original , konjugat q* znosi . Konjugat se također može izraziti matematičkim operacijama zbrajanja i množenja, što nije slučaj sa kompleksnim brojevima:
Operacija konjugacije može se koristiti za dobivanje skalarnog i vektorskog dijela kvaterniona. Skalarni dio dobiva se formulom dok je vektorski dio jednak .
Modul ili norma
Kvadratni korijen umnoška kvaterniona i njegovog konjugata naziva se modulom ili normom kvaterniona. Modul predstavlja duljinu kvaterniona unutar prostora:
Jedinični kvaternion
Jedinični kvaternion je kvaternion kojemu je modul jednak 1. Operacija podjele kvaterniona i njegovog modula uvijek će dati jedinični kvaternion, još zvan i verzorom tog kvaterniona:
Polarne koordinate kvaterniona moguće je zapisati kao umnožak modula (duljine) i jediničnog kvaterniona: .
Recipročni kvaternion moguće je opisati kao količnik konjugata i norme: