Statistička mehanika

	Klasična mehanika
	; drugi Newtonov zakon
Grane
	statika • dinamika/kinetika • kinematika • primjenjena mehanika • nebeska mehanika • mehanika kontinuuma • statistička mehanika
Formulacije
	Newtonova mehanika (vektorska mehanika); analitička mehanika: Lagrangeova mehanika; Hamiltonova mehanika; ;
Osnovni koncepti
	prostor • vrijeme • brzina • masa • ubrzanje • gravitacija • sila • impuls sile • spreg sila/moment sile • količina gibanja • kutna količina gibanja • tromost • moment tromosti • referentni okvir • energija • kinetička energija • potencijalna energija • rad • virtualni rad • D'Alembertovo načelo • princip stacionarnog djelovanja
Ključne teme
	kruto tijelo • dinamika krutog tijela • Eulerove jednadžbe (dinamika krutog tijela) • gibanje • Newtonovi zakoni gibanja • Newtonov zakon gravitacije • jednadžbe gibanja • inercijski referentni okvir • neinercijski referentni okvir • rotirajući referentni okvir • fiktivna sila • mehanika ravninskog gibanja krutog tijela • pomak (vektor) • relativna brzina • trenje • jednostavno harmonijsko gibanje • harmonijski oscilator • vibracije • prigušenje • koeficijent prigušenja • Rotacijsko gibanje • Kružno gibanje • jednoliko kružno gibanje • nejednoliko kružno gibanje • centripetalna sila • centrifugalna sila • centrifugalna sila (rotacijski referentni okvir) • reaktivna centrifugalna sila • Coriolisov učinak • fizičko njihalo • rotacijska brzina • kutno ubrzanje • kutna brzina • kutna frekvencija • kutni pomak
Znanstvenici
	Isaac Newton • Jeremiah Horrocks • Leonhard Euler • Jean le Rond d'Alembert • Alexis Clairaut • Joseph Louis Lagrange • Pierre-Simon Laplace • William Rowan Hamilton • Siméon Denis Poisson

Statistička mehanika je dio fizike koja se bavi proučavanjem sustava s mnoštvom čestica, tako da se umjesto egzaktnih determinstičkih modela, za opis čitavog skupa čestica primjenjuju statistički modeli i teorija vjerojatnosti. Začeta je u drugoj polovici 19. stoljeća i nastala je iz razmatranja klasične termodinamike te pomoću nje su se uspješno objasnila makroskopska termodinamička svojstva kao što su temperatura, tlak i toplinski kapacitet pomoću mikroskopskih parametara. Postalo je očito da se uz Newtonove zakone gibanja moraju prihvatiti neke dodatne pretpostavke o ponašanju jedne čestice sustava, odnosno sustava kao cjeline. Također je postala očitom činjenica da u sustavu velikoga broja istovjetnih ili različitih čestica zapravo ni ne zanima što se u određenom trenutku zbiva s njome, tj. gdje se nalazi i kakva joj je brzina, nego nas zanima samo ponašanje samo nekoliko veličina koje opisuju makroskopsko ponašanje sustava.

Idejni začetnici i razvijatelji statističke mehanike su Josiah Willard Gibbs, Ludwig Boltzmann i James Clerk Maxwell. Oni su u statistički opis gibanja velikoga broja čestica uveli dodatni važni mehanički pojam, fazni prostor. To je zamišljeni prostor čije se dimenzije sastoje od sviju koordinata položaja i sviju koordinata brzine sviju čestica sustava, što znači da je dimenzija toga prostora u sustavu od N čestica jednak 6N. Pretpostavka je da se ponašanje sustava kao cjeline može opisati samo poznavanjem statističke razdiobe u faznom prostoru kao što je opisano u članku Boltzmannova jednadžba.

Statistička razdioba mora poštovati određene mehaničke zakone, kao što su zakoni očuvanja ukupne energije sustava, ukupne količine gibanja i ukupne kutne količine gibanja. Uglavnom nam je od interesa zakon očuvanja ukupne energije, jer sustav kao cjelinu možemo staviti u stanje mirovanja u kojem se ne giba niti se okreće oko vlastitih osi. Pod tim pretpostavkama, i pod pretpostavkom da sustav nakon dovoljno dugoga vremena prođe dovoljno blizu svakoj točki u faznom prostoru, što je najvažnija statistička pretpostavka, izvedene su najpoznatije statističke razdiobe: mikrokanonska razdioba, kanonska razdioba i makrokanonska razdioba. Prosječna vrijednost bilo koje mehaničke veličine pojedine čestice dobije se na uobičajeni način proračunavanja statističkih prosjeka, kada znamo statističku razdiobu.^[a] Prateći gibanje pojedine čestice, može se izračunati prosječnu vrijednost određene veličine za određenu česticu, primjerice njene energijje, kao vremenski prosjek. Ne postoji konačan i dokazan odgovor na pitanje ima li taj prosjek kakve veze sa statističkim prosjekom izračunatim po faznom prostoru. Boltzman je na to odgovorio ergodskom hipotezom, a koja se za ta dva spomenuta načina izračunavanja prosjeka jednostavno poistovjećuje.

Statistička mehanika je teorija koja spaja dva svijeta: mikroskopski i makroskopski. Pomoću nje je izvedena i statistička termodinamika, koja je imala savršen uspjeh u teorijskom opisu fenomenološke termodinamike. Uspjeh statističke mehanike je bio veliki i jaki argument u prilog atomske hipoteze krajem 19. stoljeća. Danas je teorijska fizika nezamisliva bez statističke mehanike. Ne postoji nijedan sustav velikoga broja čestica na kojega ona ne bi bila primjenljiva, a ako bi i postojao bio bi to značajan problem ne samo za teorijsku fiziku nego i za daljni razvoj tehnologije.

Mikrokanonski, kanonski i velekanonski ansambl

Mikrostanje $\Omega$ predstavlja broj dinamičkih stanja koji pripadaju određenom termodinamičkom stanju.^[1] Svako dinamičko stanje odgovara jednoj točki u faznom prostoru, koji je $6N$ -dimenzionalan za sustav od $N$ čestica.

Ukupni volumen dostupnog faznog prostora definiran je integralom:

$V=\int d^{3N}q\,d^{3N}p$

Budući da je fazni prostor kontinuiran, unutar konačnog volumena postoji beskonačno mnogo mikrostanja. To predstavlja problem jer bi Boltzmannova jednadžba za entropiju $S=k_{B}\ln W$ dovela do beskonačne entropije, što je fizički besmisleno.

Kako bi entropija bila konačna veličina, fazni prostor se mora diskretizirati u konačne jedinice. To znači da se mikrostanje identificira s jednom "ćelijom" unutar faznog prostora, tako da je ukupni volumen podijeljen na konačan broj mikrostanja.

Kvantna mehanika prirodno nameće minimalni volumen faznog prostora. Zbog načelu neodređenosti čestica nikad ne može biti samo u jednoj točki prostora, najmanja moguća ćelija faznog prostora ima veličinu proporcionalnu Planckovoj konstanti $h=6,62607015\times 10^{-34}\,{\text{Js}}$ , odnosno čelija koja predstavlja jedno mikrostanje ima minimalni volumen od $h^{3N}$ .

Stoga, broj mikrostanja definira se kao:

$W={\frac {V}{h^{3N}}}.$

Ova formulacija osigurava da je broj mikrostanja konačan i dimenzijski ispravan, čime Boltzmannova jednadžba za entropiju postaje matematički i fizički smislena.

Funkcije raspodjele i vjerojatnosti u različitim ansamblima
Ansambl	Vjerojatnost mikrostanja	Suma po stanjima	Kontinuirani sustav
Mikrokanonski	$p_{i}={\frac {1}{\Omega _{\mathrm {mik} }}}$	$\Omega _{\mathrm {mik} }=\sum _{i}\delta (E-E_{i})$	$\Omega _{\mathrm {mik} }(E)={\frac {1}{N!h^{3N}}}\int d^{3N}p\,d^{3N}q\;\delta (E-{\mathcal {H}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ))$
Kanonski	$p_{i}={\frac {e^{-\beta E_{i}}}{Z_{\mathrm {kan} }}}$	$Z_{\mathrm {kan} }=\sum _{i}e^{-\beta E_{i}},\quad \beta ={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}$	$Z_{\mathrm {kan} }={\frac {1}{N!h^{3N}}}\int d^{3N}p\,d^{3N}q\;e^{-\beta {\mathcal {H}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}$
Velekanonski	$p_{i}={\frac {e^{-\beta (E_{i}-\mu N_{i})}}{{\mathcal {Z}}_{\mathrm {vel} }}}$	${\mathcal {Z}}_{\mathrm {vel} }=\sum _{i}e^{-\beta (E_{i}-\mu N_{i})}$	${\mathcal {Z}}_{\mathrm {vel} }={\frac {1}{N!h^{3N}}}\int d^{3N}p\,d^{3N}q\;e^{-\beta ({\mathcal {H}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )-\mu N)}$

Suma po stanjima, odnosno particijska funkcija, označava se slovom $Z$ , razlog tome je njemački izraz Zustandssumme.

Pronalaženje particione funkcije ekvivalentno je provođenju Laplaceove transformacije nad funkcijom gustoće stanja $\Omega$ iz energetske domene u β domenu:

$Z(\beta )=\sum _{i}e^{-\beta E_{i}}=\int _{0}^{\infty }\Omega (E)\,e^{-\beta E}\,dE.$

Bilješke

↑ $S=-k_{\mathrm {B} }\sum _{i}p_{i}\ln(p_{i})$ - Gibbsova entropija
$p_{i}={\frac {e^{-\beta E_{i}}}{Z}}$ - Boltzmannova raspodjela
$Z={\frac {1}{N!h^{3N}}}\int d^{3N}p\,d^{3N}q\,e^{-\beta {\mathcal {H}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}$ - Particijska funkcija kontinuiranog sustava
$Z=\int _{0}^{\infty }\Omega (E)\,e^{-\beta E}\,dE$ - Laplaceova transformacija gustoće raspodjele Ω
$Z=\sum _{i}e^{-\beta E_{i}}$ - Zustandsumme (suma po stanjima)
$S=k_{\mathrm {B} }{\Big (}\ln Z+\beta \langle E\rangle {\Big )}$ - Entropija kanonskog ansambla

Izvori

↑ Fermi, E. (1956). str. 140. Thermodynamics. Dover Publications. str. 52.

[1] $S=-k_{\mathrm {B} }\sum _{i}p_{i}\ln(p_{i})$ - Gibbsova entropija
$p_{i}={\frac {e^{-\beta E_{i}}}{Z}}$ - Boltzmannova raspodjela
$Z={\frac {1}{N!h^{3N}}}\int d^{3N}p\,d^{3N}q\,e^{-\beta {\mathcal {H}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}$ - Particijska funkcija kontinuiranog sustava
$Z=\int _{0}^{\infty }\Omega (E)\,e^{-\beta E}\,dE$ - Laplaceova transformacija gustoće raspodjele Ω
$Z=\sum _{i}e^{-\beta E_{i}}$ - Zustandsumme (suma po stanjima)
$S=k_{\mathrm {B} }{\Big (}\ln Z+\beta \langle E\rangle {\Big )}$ - Entropija kanonskog ansambla

[2] Fermi, E. (1956). str. 140. Thermodynamics. Dover Publications. str. 52.

[a]

[1]