Vektorski prostor

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje

Vektorski ili linearni prostor je jedan od osnovnih algebarskih pojmova u matematici i osnovni objekt proučavanja u grani algebre koju zovemo linearna algebra. Pojam vektorskog prostora je nastao apstrakcijom i poopćavanjem algebarske strukture na skupu svih slobodnih vektora u prostoru klasične euklidske geometrije.

Primjene su široke uključujući u temeljnim disciplinama kao što su analiza i analitička geometrija. Definira se na sljedeći način:

Neka skup V ima strukturu Abelove grupe u odnosu na zbrajanje. Elemente skupa V zovemo vektori. Neutralni element označujemo oznakom (ili 0) i zovemo nul-vektor ili nulti vektor.

Neka skup F ima strukturu polja. Elemente skupa F zovemo skalari, a neutralne elemente u odnosu na dvije binarne operacije označujemo sa 0 i 1.

Na skupu F × V definirano je množenje vektora skalarom, tj. preslikavanje F × V → V, koje svakom skalaru i svakom vektoru pridružuje vektor , tako da vrijede sljedeći aksiomi:

(I)
(II)
(III)
(IV)

Ovako se definirano preslikavanje zove množenje vektora skalarom, dok se V opremljen tim preslikavanjem naziva vektorski prostor nad poljem F ili F-vektorski prostor.[1]

Ponekad se promatraju i vektorski prostori nad tijelom, dakle u većoj općenitosti kad je F tijelo. Doslovno ponovljena gornja definicija gdje je F tijelo određuje lijevi vektorski prostor nad F. Desni vektorski prostori definiraju se analogno, pri čemu je množenje skalarom zdesna, V × F → V.

Uobičajeno je da se vektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostori, a nad tijelom kvaterniona, kvaternionski vektorski prostori.

Neka je podskup skupa vektora vektorskog prostora. Kažemo da je vektor linearna kombinacija elemenata od ako se da napisati u obliku gdje je prirodni broj (ili nula) i gdje su i . Također možemo reći da je linearna kombinacija vektora . Kažemo da je je vektorski (ili linearni) potprostor ako je svaka linearna kombinacija vektora iz i sama u . Ako je ma koji skup vektora, tada je njegova linearna ljuska skup svih vektora koji su linearne kombinacije vektora iz . To je ujedno najmanji vektorski potprostor koji sadrži .

Preslikavanje među skupovima vektora dva vektorska prostora i nad istim poljem ili tijelom zovemo aditivnim ako za svaka dva vektora , homogenim ako za sve i linearnim ako je i aditivno i homogeno preslikavanje. Linearno preslikavanje među skupovima vektora dvaju vektorskih prostora, nazivamo i linearnim operatorom (ili linearnom transformacijom) među vektorskim prostorima. Riječ linearni u sintagmi linearni operator se često i izostavlja.

Ukoliko je F polje, skup A opremljen djelovanjem (translacija za vektor) Abelove grupe V zovemo afini prostor (nad poljem F) ukoliko je to djelovanje slobodno i tranzitivno. Elemente od A zovemo točkama afinog prostora. Rezultat djelovanja vektora na točki označavamo s ili i tumači se kao translacija točke za vektor .

  • Uvjet slobodnosti znači da ako je za neki tada je .
  • Uvjet tranzitivnosti znači da za svake dvije točke postoji vektor takav da je .
  • Slobodnost povlači da je taj vektor jedinstven i označava se ponekad s .

To reproducira klasično određenje slobodnog vektora kao razreda ekvivalencije usmjerenih dužina, naime usmjerena dužina je određena uređenim parom točaka (krajevi usmjerene dužine), a dvije usmjerene dužine su ekvivalentne ako se spojnica početka prve i kraja druge usmjerene dužine i spojnica početka druge i kraja prve dužine sijeku u jednoj točki koja ih raspolavlja.

Realni vektorski prostor opremljen bilinearnom preslikavanjem koje je linearno u oba argumenta (bilinearno preslikavanje), pozitivno definitno i simetrično zovemo realni unitarni prostor.

Konačno-dimenzionalni realni unitarni prostor ponekad nazivamo Euklidski vektorski prostor. Pod Euklidskim prostorom u modernom smislu, međutim, češće podrazumijevamo konačno dimenzionalni afini prostor čiji vektorski prostor translacija je realni unitarni prostor.

Literatura[uredi | uredi kôd]

Teorija konačno dimenzionalnih vektorskih prostora u potpunosti je izložena u knjizi Svetozar aKurepa: Konačno dimenzionalni vektorski prostori i primjene, Tehnička knjiga, Zagreb, 1967. Knjiga sadrži i zadatke kao uvod u samostalni rad. Aspekti teorije u beskonačno dimenzionalnom slučaju izloženi su u Svetozar Kurepa: Funkcionalna analiza, elementi teorije operatora, Školska knjiga, Zagreb, 1990. Kao uvod u vektorske prostore, s primjenama u geometriji, služe udžbenici za prirodoslovne gimnazije, kao npr. Branimir Dakić, Neven Elezović: Analitička geometrija, Element, Zagreb, 1998.

Izvori[uredi | uredi kôd]

  1. Kraljević, Hrvoje. 2007. Vektorski prostori (PDF). math.pmf.unizg.hr. Pristupljeno 2. srpnja 2021.