Vektorski prostor

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje
Vektorski prostor je algebarska struktura inspirirana skupom svih slobodnih vektora u prostoru klasične euklidske geometrije

Vektorski ili linearni prostor jedna je od osnovnih algebarskih struktura u matematici i osnovni objekt proučavanja u grani algebre koju zovemo linearna algebra. Pojam vektorskog prostora nastao je apstrakcijom i poopćavanjem algebarske strukture na skupu svih slobodnih vektora u prostoru klasične euklidske geometrije. Primjene su široke i uključuju temeljne discipline kao što su analiza i analitička geometrija.

Definicija[uredi | uredi kôd]

Vektorski prostor definira se na sljedeći način:[1]

Neka skup V ima strukturu Abelove grupe u odnosu na zbrajanje. Elemente skupa V zovemo vektori. Neutralni element bilježimo znakom ili o i zovemo nulvektor ili nulti vektor.

Neka skup F ima strukturu polja. Elemente skupa F zovemo skalari, a neutralne elemente u odnosu na binarne operacije zbrajanja i množenja (u apstraktnom smislu) označavamo s 0 i 1.

Na skupu F × V definirano je množenje vektora skalarom, tj. preslikavanje F × VV, koje svakom skalaru i svakom vektoru pridružuje vektor , tako da vrijede sljedeći aksiomi:

  1. za sve i
  2. za sve i
  3. za sve i
  4. za sve

Ovako definirano preslikavanje zove se množenje vektora skalarom, dok se V opremljen tim preslikavanjem naziva vektorski prostor nad poljem F ili F-vektorski prostor.

Ponekad se promatraju i vektorski prostori nad tijelom, dakle u većoj općenitosti kad je F tijelo. Doslovno ponovljena gornja definicija gdje je F tijelo određuje lijevi vektorski prostor nad F. Desni vektorski prostori definiraju se analogno, pri čemu je množenje skalarom zdesna, V × F → V.

Uobičajeno je da se vektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostori, a nad tijelom kvaterniona, kvaternionski vektorski prostori.

Svojstva[uredi | uredi kôd]

Linearne kombinacije vektora i linearna ljuska[uredi | uredi kôd]

Neka je podskup skupa vektora vektorskog prostora. Kažemo da je vektor linearna kombinacija elemenata od ako se da napisati u obliku gdje je prirodni broj i gdje su i . Također možemo reći da je linearna kombinacija vektora . Kažemo da je je vektorski (ili linearni) potprostor ako je svaka linearna kombinacija vektora iz i sama u .

Ako je ma koji skup vektora, tada je njegova linearna ljuska skup svih vektora koji su linearne kombinacije vektora iz . To je ujedno najmanji vektorski potprostor koji sadrži .

Linearni operatori[uredi | uredi kôd]

Preslikavanje među skupovima vektora dva vektorska prostora i nad istim poljem ili tijelom zovemo aditivnim ako za svaka dva vektora , homogenim ako za sve i linearnim ako je i aditivno i homogeno preslikavanje. Linearno preslikavanje među skupovima vektora dvaju vektorskih prostora, nazivamo i linearnim operatorom ili linearnom transformacijom među vektorskim prostorima. Riječ linearni u sintagmi linearni operator često se izostavlja.

Afini prostor[uredi | uredi kôd]

Ako je F polje, skup A opremljen djelovanjem , translacijom za vektor Abelove grupe V, zovemo afini prostor (nad poljem F) ako je to djelovanje slobodno i tranzitivno. Elemente od A zovemo točkama afinog prostora. Rezultat djelovanja vektora na točki označava se s ili i tumači kao translacija točke za vektor .

  • Uvjet slobodnosti znači da ako je za neki tada je .
  • Uvjet tranzitivnosti znači da za svake dvije točke postoji vektor takav da je .
  • Slobodnost povlači da je taj vektor jedinstven i označava se ponekad s .

Ovo reproducira klasično određenje slobodnog vektora kao razreda ekvivalencije usmjerenih dužina, naime usmjerena dužina je određena uređenim parom točaka koji su krajevi usmjerene dužine, a dvije usmjerene dužine su ekvivalentne ako se translacijom mogu prevesti jedna u drugu, odnosno ako se spojnica početka prve i kraja druge usmjerene dužine i spojnica početka druge i kraja prve dužine sijeku u jednoj točki koja ih raspolavlja.

Unitarni prostori[uredi | uredi kôd]

Realni vektorski prostor opremljen bilinearnom preslikavanjem koje je linearno u oba argumenta (bilinearno preslikavanje), pozitivno definitno i simetrično zovemo realni unitarni prostor.

Konačnodimenzionalni realni unitarni prostor ponekad nazivamo Euklidski vektorski prostor. Pod Euklidskim prostorom u modernom smislu, međutim, češće podrazumijevamo konačnodimenzionalni afini prostor čiji vektorski prostor translacija je realni unitarni prostor.

Literatura[uredi | uredi kôd]

Teorija konačno dimenzionalnih vektorskih prostora u potpunosti je izložena u knjizi Svetozar Kurepa: Konačno dimenzionalni vektorski prostori i primjene, Tehnička knjiga, Zagreb, 1967. Knjiga sadrži i zadatke kao uvod u samostalni rad. Aspekti teorije u beskonačno dimenzionalnom slučaju izloženi su u Svetozar Kurepa: Funkcionalna analiza, elementi teorije operatora, Školska knjiga, Zagreb, 1990. Treba spomenuti i udžbenik Linearna Algebra, Tehnička knjiga, Zagreb, 2004. čiji je autor Krešimir Horvatić.

Kao uvod u vektorske prostore, s primjenama u geometriji, služe udžbenici za prirodoslovno-matematičke gimnazije, kao npr. Branimir Dakić, Neven Elezović: Analitička geometrija, Element, Zagreb, 1998.

Izvori[uredi | uredi kôd]

  1. Kraljević, Hrvoje. 2007. Vektorski prostori (PDF). math.pmf.unizg.hr. Inačica izvorne stranice arhivirana 7. studenoga 2020. Pristupljeno 2. srpnja 2021.CS1 održavanje: bot: nepoznat status originalnog URL-a (link)