Popis trigonometrijskih identiteta

Sinusi i kosinusi u jediničnoj kružnici

Trigonometrijski identiteti su izrazi jednakosti koji pokazuju poveznice između pojedinih trigonometrijskih funkcija. Ti izrazi su istiniti za svaku odabranu vrijednost određene varijable (kuta ili nekog drugog broja). Kako su trigonometrijske funkcije međusobno povezane pomoću vrijednosti jedne, moguće je izraziti neku drugu funkciju. Identiteti se koriste kada je potrebno pojednostaviti izraze koji uključuju trigonometrijske funkcije.

Nazivlje

Kutovi

Podrobniji članak o temi: Kut
Imena kutova se daju prema slovima grčkog alfabeta kao što su alfa (α), beta (β), gama (γ), delta (δ) i theta (θ). Mjerne jedinice za mjerenje kutova su stupnjevi, radijani i gradi:

1 puni krug  = 360 stupnjeva = 2$\pi$ radijana  =  400 gradi.

Slijedeća tablica prikazuje pretvorbu mjernih jedinica za određene veličine kuteva:

Stupnjevi	30°	60°	120°	150°	210°	240°	300°	330°
Radijani	$\frac\pi6\!$	$\frac\pi3\!$	$\frac{2\pi}3\!$	$\frac{5\pi}6\!$	$\frac{7\pi}6\!$	$\frac{4\pi}3\!$	$\frac{5\pi}3\!$	$\frac{11\pi}6\!$
Gradi	33⅓	66⅔	133⅓	166⅔	233⅓	266⅔	333⅓	366⅔
Stupnjevi	45°	90°	135°	180°	225°	270°	315°	360°
Radijani	$\frac\pi4\!$	$\frac\pi2\!$	$\frac{3\pi}4\!$	$\pi\!$	$\frac{5\pi}4\!$	$\frac{3\pi}2\!$	$\frac{7\pi}4\!$	$2\pi\!$
Gradi	50	100	150	200	250	300	350	400

Kutovi se u trigonometriji najčešće izražavaju u radijanima i to bez mjerne jedinice, stupnjevi s oznakom ° se manje koriste, a gradi izrazito rijetko.

Trigonometrijske funkcije

Podrobniji članak o temi: Trigonometrijske funkcije
Primarne trigonometrijske funkcije su sinus i kosinus kuta. Sinus se označava sa sinθ, a kosinus sa cosθ pri čemu je θ naziv kuta.

Tangens (tg, tan) kuta je omjer sinusa i kosinusa:

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}.$

S druge strane, imamo i recipročne funkcije pri čemu je kosinusu recipročan sekans (sec), sinusu kosekans(csc, cosec), a tangensu kotangens (ctg, cot):

$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\quad\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta},\quad\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}.$

Inverzne funkcije

Podrobniji članak o temi: Inverzne trigonometrijske funkcije
Inverzne trigonometrijske funkcije ili arkus funkcije su inverzne funkcije trigonometrijskim funkcijama. Prema tome imamo, arkus sinus (arcsin, asin) je inverzna funkcija sinusnoj funkciji , pri čemu vrijedi da je

$\sin(\arcsin x) = x\!$

i

$\arcsin(\sin \theta) = \theta\quad\text{za }-\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2.$

U slijedećoj tablici su prikazane i druge komplementarne inverzne funkcije i kratice:

Trigonometrijska funkcija	Sinus	Kosinus	Tangens	Sekans	Kosekans	Kotangens
Kratica	$\operatorname{sin}\theta$	$\operatorname{cos}\theta$	$\operatorname{tan}\theta$	$\operatorname{sec}\theta$	$\operatorname{csc}\theta$	$\operatorname{cot}\theta$
Inverzna trigonometrijska funkcija	Arkus sinus	Arkus kosinus	Arkus tangens	Arkus sekans	Arkus kosekans	Arkus kotangens
Kratica	$\operatorname{arcsin}\theta$	$\operatorname{arccos}\theta$	$\operatorname{arctan}\theta$	$\operatorname{arcsec}\theta$	$\operatorname{arccsc}\theta$	$\operatorname{arccot}\theta$

Pitagorin trigonometrijski identitet

Pitagorin trigonometrijski identitet je jedan od osnovnih trigonometrijskih identiteta i prikazuje odnos između sinusa i kosinusa:

$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\!$

gdje cos² θ znači (cos(θ))² i sin² θ znači (sin(θ))².

Izraz je u biti izvedenica Pitagorinog poučka i proizilazi iz jednakosti $x^2 + y^2 = 1 \!\$ koja vrijedi za jediničnu kružnicu. Ova jednadžba može biti rješena za sinus i za kosinus:

$\sin\theta = \pm \sqrt{1-\cos^2\theta} \quad \text{i} \quad \cos\theta = \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}. \,$

Povezani identiteti

Podijelivši Pitagorin identitet sa cos² θ ili sa sin² θ dobivamo slijedeća dva identiteta:

$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\quad\text{i}\quad 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta.\!$

Koristeći navedene identitete te omjere koji su korišteni pri definiranju trigonometrijskih funkcija, mogu se izvesti trigonometrijski identiteti gdje je jedna trigonometrijska funkcija prikazana pomoću druge:

Svaka trigonometrijska funkcija prikazana pomoću druge trigonometrijske funkcije

in terms of	$\sin \theta\!$	$\cos \theta\!$	$\tan \theta\!$	$\csc \theta\!$	$\sec \theta\!$	$\cot \theta\!$
$\sin \theta =\!$	$\sin \theta\$	$\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\!$	$\pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\!$	$\frac{1}{\csc \theta}\!$	$\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}\!$	$\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\!$
$\cos \theta =\!$	$\pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}\!$	$\cos \theta\!$	$\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\!$	$\pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}\!$	$\frac{1}{\sec \theta}\!$	$\pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\!$
$\tan \theta =\!$	$\pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\!$	$\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}\!$	$\tan \theta\!$	$\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\!$	$\pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}\!$	$\frac{1}{\cot \theta}\!$
$\csc \theta =\!$	$\frac{1}{\sin \theta}\!$	$\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\!$	$\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}\!$	$\csc \theta\!$	$\pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\!$	$\pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}\!$
$\sec \theta =\!$	$\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\!$	$\frac{1}{\cos \theta}\!$	$\pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}\!$	$\pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\!$	$\sec \theta\!$	$\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}\!$
$\cot \theta =\!$	$\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}\!$	$\pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\!$	$\frac{1}{\tan \theta}\!$	$\pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}\!$	$\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\!$	$\cot \theta\!$

Ostale funkcije korištene u prošlosti

Sve trigonometrijske funkcije kuta θ mogu biti geometrijski konstruirane s obzirom na jediničnu kružnicu sa središtem u  O. Pojedine se višse ne koriste.

Pojedine trigonometrijske fukcije više nisu u uporabi. Versinus, koversinus, haversinus i eksekans su se koristile pri navigaciji, a haversinusna formula se koristila za računanje udaljenosti dviju točaka na sferi.

Ime	Kratica	Vrijednost
Versinus	$\operatorname{versin}(\theta)$ $\operatorname{vers}(\theta)$ $\operatorname{ver}(\theta)$	$1 - \cos (\theta)$
Verkosinus	$\operatorname{vercosin}(\theta)$	$1 + \cos (\theta)$
Koversinus	$\operatorname{coversin}(\theta)$ $\operatorname{cvs}(\theta)$	$1 - \sin(\theta)$
Koverkosinus	$\operatorname{covercosin}(\theta)$	$1 + \sin(\theta)$
Haversinus	$\operatorname{haversin}(\theta)$	$\frac{1 - \cos (\theta)}{2}$
Haverkosinus	$\operatorname{havercosin}(\theta)$	$\frac{1 + \cos (\theta)}{2}$
Hakoversinus	$\operatorname{hacoversin}(\theta)$	$\frac{1 - \sin (\theta)}{2}$
Hakoverkosinus	$\operatorname{hacovercosin}(\theta)$	$\frac{1 + \sin (\theta)}{2}$
Eksekans	$\operatorname{exsec}(\theta)$	$\sec(\theta) - 1$
Ekskosekans	$\operatorname{excsc}(\theta)$	$\csc(\theta) - 1$
Tetiva	$\operatorname{crd}(\theta)$	$2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$

Simetrija, pomak i periodičnost

Proučavajući jediničnu kružnicu mogu se uvidjeti pojedina svojstva trigonometrijske kružnice kao što su simetrija, razni pomaci i periodičnost funkcija. Formule u slijedeće dvije tablice se često nazivaju formule redukcije.

Simetrija

Kada neku trigonometrijsku funkciju odbijemo za određeni kut (npr. π,π/2) rezultat često bude neka druga trigonometrijska funkcija.

Odbitak za $\theta=0$	Odbitak za $\theta= \pi/2$	Odbitak za $\theta= \pi$
$\begin{align} \sin(-\theta) &= -\sin \theta \\ \cos(-\theta) &= +\cos \theta \\ \tan(-\theta) &= -\tan \theta \\ \csc(-\theta) &= -\csc \theta \\ \sec(-\theta) &= +\sec \theta \\ \cot(-\theta) &= -\cot \theta \end{align}$	$\begin{align} \sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\ \cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sin \theta \\ \tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cot \theta \\ \csc(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sec \theta \\ \sec(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\csc \theta \\ \cot(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta \end{align}$	$\begin{align} \sin(\pi - \theta) &= +\sin \theta \\ \cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\ \tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\ \csc(\pi - \theta) &= +\csc \theta \\ \sec(\pi - \theta) &= -\sec \theta \\ \cot(\pi - \theta) &= -\cot \theta \\ \end{align}$

Pomaci i periodičnost

Pomicanjem funkcije za određeni kut također se kao rezultat dobije neka druga trigonometrijska funkcija koja rezultat prikaže jednostavnije. To možemo vidjeti u primjerima pomaka za π/2, π i 2π radijana. S obzirom da su trigonomterijeske funkcije periodične, ovisno o funkciji za π (tangens i kotangens funkcija) ili 2π (sinus i kosinus funkcija), tada nova funkcija poprima istu vrijednost.

Pomak za π/2	Pomak za π Period for tan and cot	Pomak za 2π Period for sin, cos, csc and sec
$\begin{align} \sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\ \cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\ \tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\cot \theta \\ \csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta \\ \sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\ \cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta \end{align}$	$\begin{align} \sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\ \cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\ \tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\ \csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta \\ \sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\ \cot(\theta + \pi) &= +\cot \theta \\ \end{align}$	$\begin{align} \sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\ \cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\ \tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\ \csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta \\ \sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\ \cot(\theta + 2\pi) &= +\cot \theta \end{align}$

Zbroj i razlika kutova

Ovi trigonometrijski identiteti se nazivaju adicijske formule. Otkrio ih je prezijski matematičar Abū al-Wafā' Būzjānī u 10. stoljeću. Eulerova formula može pomoći pri dokazivanju ovih identiteta.

Sinus	$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!$
Kosinus	$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,$
Tangens	$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$
Arkus sinus	$\arcsin\alpha \pm \arcsin\beta = \arcsin(\alpha\sqrt{1-\beta^2} \pm \beta\sqrt{1-\alpha^2})$
Arkus kosinus	$\arccos\alpha \pm \arccos\beta = \arccos(\alpha\beta \mp \sqrt{(1-\alpha^2)(1-\beta^2)})$
Arkus tangens	$\arctan\alpha \pm \arctan\beta = \arctan\left(\frac{\alpha \pm \beta}{1 \mp \alpha\beta}\right)$

Matrični oblik

Podrobniji članak o temi: Množenje matrica
Trigonometrijske formule zbroja i razlike za sinus i kosinus mogu biti zapisani u obliku matrice.

$\begin{align} & {} \quad \left(\begin{array}{rr} \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array}\right) \\[12pt] & = \left(\begin{array}{rr} \cos\phi\cos\theta - \sin\phi\sin\theta & -\cos\phi\sin\theta - \sin\phi\cos\theta \\ \sin\phi\cos\theta + \cos\phi\sin\theta & -\sin\phi\sin\theta + \cos\phi\cos\theta \end{array}\right) \\[12pt] & = \left(\begin{array}{rr} \cos(\theta+\phi) & -\sin(\theta+\phi) \\ \sin(\theta+\phi) & \cos(\theta+\phi) \end{array}\right) \end{align}$

Sinus i kosinus zbroja beskonačno mnogo veličina

$\sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right) =\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^{(k-1)/2} \sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}} \left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)$

$\cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right) =\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^{k/2} ~~ \sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}} \left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)$

Tangens zbroja konačno mnogo veličina

Neka je $e_k \,$ (za k ∈ {0, ..., n}) k-ti stupanj osnovnog simetričnog polinoma pri čemu je

$x_i = \tan \theta_i\,$

za i ∈ {0, ..., n} pa slijedi

$\begin{align} e_0 & = 1 \\[6pt] e_1 & = \sum_{1 \le i \le n} x_i & & = \sum_{1 \le i \le n} \tan\theta_i \\[6pt] e_2 & = \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j & & = \sum_{1 \le i < j \le n} \tan\theta_i \tan\theta_j \\[6pt] e_3 & = \sum_{1 \le i < j < k \le n} x_i x_j x_k & & = \sum_{1 \le i < j < k \le n} \tan\theta_i \tan\theta_j \tan\theta_k \\ & {}\ \ \vdots & & {}\ \ \vdots \end{align}$

Tada vrijedi da je

$\tan(\theta_1+\cdots+\theta_n) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots},\!$

u ovisnosti o broju n.

Na primjer:

$\begin{align} \tan(\theta_1 + \theta_2) & = \frac{ e_1 }{ e_0 - e_2 } = \frac{ x_1 + x_2 }{ 1 \ - \ x_1 x_2 } = \frac{ \tan\theta_1 + \tan\theta_2 }{ 1 \ - \ \tan\theta_1 \tan\theta_2 } , \\ \\ \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) & = \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 } = \frac{ (x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3) }{ 1 \ - \ (x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) }, \\ \\ \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) & = \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 + e_4 } \\ \\ & = \frac{ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) }{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4) }, \end{align}$

i tako dalje. Naveden identitet se može dokazati matematičkom indukcijom.

Sekans i kosekans zbroja konačno mnogo veličina

$\begin{align} \sec(\theta_1 + \cdots + \theta_n) & = \frac{\sec\theta_1 \cdots \sec\theta_n}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} \\[8pt] \csc(\theta_1 + \cdots + \theta_n) & = \frac{\sec\theta_1 \cdots \sec\theta_n}{e_1 - e_3 + e_5 - \cdots} \end{align}$

gdje je $e_k \,$ k-ti stupanj osnovnog simetričnog polinoma za n varijabla x_i = tan θ_i, i = 1, ..., n, a broj veličina u nazivniku ovisi o  n.

Na primjer,

$\begin{align} \sec(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \tan\alpha\tan\beta - \tan\alpha\tan\gamma - \tan\beta\tan\gamma } \\[8pt] \csc(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{\tan\alpha + \tan\beta + \tan\gamma - \tan\alpha\tan\beta\tan\gamma} \end{align}$

Identiteti za višestruke kutove

Tn je n-ti Chebyshevljev polinom	$\cos n\theta =T_n (\cos \theta )\,$
Sn je n-ti polinom širine	$\sin^2 n\theta = S_n (\sin^2\theta)\,$
De Moivreova formula, $i$ je imaginarna jedinica	$\cos n\theta +i\sin n\theta=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n \,$

Trigonomterijski identiteti dvostrukih, trostrukih i polovičnih kutova

Podrobniji članak o temi: Formula tangensa polovičnih kutova

Formule dvostrukog kuta
$\begin{align} \sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$ $\begin{align} \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$ $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\!$ $\cot 2\theta = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta}\!$
Formule trostrukog kuta
$\begin{align}\sin 3\theta & = 3 \cos^2\theta \sin\theta - \sin^3\theta & = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \end{align}$ $\begin{align}\cos 3\theta & = \cos^3\theta - 3 \sin^2 \theta\cos \theta & = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta\end{align}$ $\tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}\!$ $\cot 3\theta = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}\!$
Formule polovičnog kuta
$\sin \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$ $\cos \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ $\tan \frac{\theta}{2} = \csc \theta - \cot \theta = \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}$ $\tan\frac{\eta+\theta}{2} = \frac{\sin\eta+\sin\theta}{\cos\eta+\cos\theta}$ $\tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \sec\theta + \tan\theta$ $\sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} = \frac{1 - \tan(\theta/2)}{1 + \tan(\theta/2)}$ $\tan\tfrac{1}{2}\theta = \frac{\tan\theta}{1 + \sqrt{1+\tan^2\theta}} \mbox{za}\quad \theta \in \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2} \right)$ $\cot \frac{\theta}{2} = \csc \theta + \cot \theta = \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}$

Sinus, kosinus i tangens višestrukih kutova

$\sin n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\sin\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)$

$\cos n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\cos\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)$

$\tan\,(n{+}1)\theta = \frac{\tan n\theta + \tan \theta}{1 - \tan n\theta\,\tan \theta}.$

$\cot\,(n{+}1)\theta = \frac{\cot n\theta\,\cot \theta - 1}{\cot n\theta + \cot \theta}.$

Chebyshevljeva metoda

Chebyshevljeva metoda je rekurzivni algoritam za nalaženje formula n-tih višestrukih kutova poznavajući (n − 1)-te i (n − 2)-te formule.

$\cos nx = 2 \cdot \cos x \cdot \cos (n-1) x - \cos (n-2) x \,$

$\sin nx = 2 \cdot \cos x \cdot \sin (n-1) x - \sin (n-2) x \,$

$\tan nx = \frac{H + K \tan x}{K- H \tan x} \,$

gdje je H/K = tan(n − 1)x.

Tangens prosjeka

$\tan\left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right) = \frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta} = -\,\frac{\cos\alpha - \cos\beta}{\sin\alpha - \sin\beta}$

Ako su α ili β jednaki 0 tada dobivamo formulu za tangens polovičnog kuta.

Vièteov beskonačni produkt

$\cos\left({\theta \over 2}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 4}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 8}\right)\cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos\left({\theta \over 2^n}\right) = {\sin(\theta)\over \theta} = \operatorname{sinc}\,\theta.$

Identiteti potenciranih trigonometrijskih funkcija

Sinus	Kosinus	Druge
$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}\!$	$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\!$	$\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}\!$
$\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4}\!$	$\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}\!$	$\sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin 2\theta - \sin 6\theta}{32}\!$
$\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}\!$	$\cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}\!$	$\sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos 4\theta + \cos 8\theta}{128}\!$
$\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin 3\theta + \sin 5\theta}{16}\!$	$\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}\!$	$\sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin 2\theta - 5\sin 6\theta + \sin 10\theta}{512}\!$

Za izvode potencija sinus i kosinusa kuta se koriste De Moivreova formula, Eulerov poučak i binomni poučak.

	Kosinus	Sinus
$\text{ako je }n\text{ neparan}$	$\cos^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}$	$\sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{(\frac{n-1}{2}-k)} \binom{n}{k} \sin{((n-2k)\theta)}$
$\text{ako je }n\text{ paran}$	$\cos^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}$	$\sin^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{(\frac{n}{2}-k)} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}$

Formule pretvorbi umnoška u zbroj i zbroja u umnožak

Umnožak u zbroj $\cos \theta \cos \varphi = {\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi) \over 2}$ $\sin \theta \sin \varphi = {\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi) \over 2}$ $\sin \theta \cos \varphi = {\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi) \over 2}$ $\cos \theta \sin \varphi = {\sin(\theta + \varphi) - \sin(\theta - \varphi) \over 2}$

Zbroj u umnožak $\sin \theta \pm \sin \varphi = 2 \sin\left( \frac{\theta \pm \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta \mp \varphi}{2} \right)$ $\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)$ $\cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left( {\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi \over 2}\right)$

Drugi povezani identiteti

Ako su x, y i z bilo kojeg trokuta, tada vrijedi

$\text{ako je zbroj }x + y + z = \pi = \text{polukrug,}\,$

$\text{onda je }\tan(x) + \tan(y) + \tan(z) = \tan(x)\tan(y)\tan(z).\,$

odnosno

$\text{ako je zbroj }x + y + z = \pi = \text{polukrug,}\,$

$\text{onda je }\sin(2x) + \sin(2y) + \sin(2z) = 4\sin(x)\sin(y)\sin(z).\,$

Hermiteov kotangensov identitet

Podrobniji članak o temi: Hermiteov kotangensov identitet

Charles Hermite je pokazao da vrijedi određena jednakost gdje su varijable a₁, ..., a_n kompleksni brojevi. Neka je

$A_{n,k} = \prod_{\begin{smallmatrix} 1 \le j \le n \\ j \neq k \end{smallmatrix}} \cot(a_k - a_j)$

te u slučaju kada je A_1,1, dobiva se prazan produkt, koji je jednak  1. Općenito se dobiva slijedeća vrijednost:

$\cot(z - a_1)\cdots\cot(z - a_n) = \cos\frac{n\pi}{2} + \sum_{k=1}^n A_{n,k} \cot(z - a_k).$

U najjednostavnijem slučaju za n = 2 vrijedi:

$\cot(z - a_1)\cot(z - a_2) = -1 + \cot(a_1 - a_2)\cot(z - a_1) + \cot(a_2 - a_1)\cot(z - a_2).$

Ptolemejev teorem

Ove jednakosti predstavljaju trigonometrijski oblik ptolomejevog teorema.

$\text{Ako su }w + x + y + z = \pi = \text{polukrug,} \,$

$\begin{align} \text{tada vrijedi } & \sin(w + x)\sin(x + y) \\ &{} = \sin(x + y)\sin(y + z) \\ &{} = \sin(y + z)\sin(z + w) \\ &{} = \sin(z + w)\sin(w + x) = \sin(w)\sin(y) + \sin(x)\sin(z). \end{align}$

Linearne kombinacije

Podrobniji članak o temi: Fazni vektor
Bilo koja linearna kombinacija sinusnih valova istih perioda ili frekvencija s različitim faznim pomacima je također sinusni val sa istom periodom ili frekvencijom s različitim faznim pomakom. Kod nenulte linearne kombinacije sinusnog i kosinusnog vala , se dobiva

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)\,$

gdje je

$\varphi = \begin{cases}\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right) & \text{ako je }a \ge 0, \\ \pi-\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right) & \text{ako je }a < 0, \end{cases}$

što je ekvivalentno s

$\varphi = \arctan \left(\frac{b}{a}\right) + \begin{cases} 0 & \text{ako je }a \ge 0, \\ \pi & \text{ako je }a < 0, \end{cases}$

ili čak s

$\varphi = \text{sgn}(b)\cos^{-1}\left(\tfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$

Općenito za proizvoljan fazni pomak vrijedi

$a\sin x+b\sin(x+\alpha)= c \sin(x+\beta)\,$

gdje je

$c = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cos \alpha},\,$

i

$\beta = \arctan \left(\frac{b\sin \alpha}{a + b\cos \alpha}\right) + \begin{cases} 0 & \text{ako je } a + b\cos \alpha \ge 0, \\ \pi & \text{ako je } a + b\cos \alpha < 0. \end{cases}$

Lagrangeovi trigonometrijski identiteti

Ovi identiteti su ime dobili po Josephu Louisu Lagrangeu.

$\begin{align} \sum_{n=1}^N \sin n\theta & = \frac{1}{2}\cot\theta-\frac{\cos(N+\frac{1}{2})\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta}\\ \sum_{n=1}^N \cos n\theta & = -\frac{1}{2}+\frac{\sin(N+\frac{1}{2})\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} \end{align}$

S njima je povezana funkcija koja se naziva Dirichletova jezgra.

$1+2\cos(x) + 2\cos(2x) + 2\cos(3x) + \cdots + 2\cos(nx) = \frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}.$

Ostali oblici zbrojeva trigonometrijskih funkcija

Zbroj sinusa i kosinusa sa varijablama u aritmetičkom nizu :

$\begin{align} & \sin{\varphi} + \sin{(\varphi + \alpha)} + \sin{(\varphi + 2\alpha)} + \cdots {} \\[8pt] & {} \qquad\qquad \cdots + \sin{(\varphi + n\alpha)} = \frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \sin{(\varphi + \frac{n \alpha}{2})}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}. \\[10pt] & \cos{\varphi} + \cos{(\varphi + \alpha)} + \cos{(\varphi + 2\alpha)} + \cdots {} \\[8pt] & {} \qquad\qquad \cdots + \cos{(\varphi + n\alpha)} = \frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \cos{(\varphi + \frac{n \alpha}{2})}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}. \end{align}$

Za bilo koji a i b vrijedi:

$a \cos(x) + b \sin(x) = \sqrt{ a^2 + b^2 } \cos(x - \operatorname{atan2}\,(b,a)) \;$

gdje je atan2(y, x) poopćenje funkcije arctan(y/x) koja pokriva cijeli kružni opseg.

Koristeći Gudermannovu funkciju koja povezuje cirkularne i hiperbolne trigonometrijske funkcije bez korištenja kompleksnih brojeva može se iskoristiti slijedeći izraz:

$\tan(x) + \sec(x) = \tan\left({x \over 2} + {\pi \over 4}\right).$

Ako su x, y i z ako su kutovi bilo kojeg trokuta odnosno x + y + z = π, tada je

$\cot(x)\cot(y) + \cot(y)\cot(z) + \cot(z)\cot(x) = 1.\,$

Određene linearne frakcionalne transformacije

Podrobniji članak o temi: Möbiusova transformacija
Ako je ƒ(x) dan linearnom frakcionalnom transformacijom

$f(x) = \frac{(\cos\alpha)x - \sin\alpha}{(\sin\alpha)x + \cos\alpha},$

i slično tome

$g(x) = \frac{(\cos\beta)x - \sin\beta}{(\cos\beta)x + \sin\beta},$

tada vrijedi

$f(g(x)) = g(f(x)) = \frac{(\cos(\alpha+\beta))x - \sin(\alpha+\beta)}{(\sin(\alpha+\beta))x + \cos(\alpha+\beta)}.$

Kraće rečeno, ako je za sve α funkcija ƒ_α baš ta gore prikazana funkcija ƒ tada vrijedi da je

$f_\alpha \circ f_\beta = f_{\alpha+\beta}. \,$

Identiteti s inverznim trigonometrijskim funkcijama

$\arcsin(x)+\arccos(x)=\pi/2\;$

$\arctan(x)+\arccot(x)=\pi/2.\;$

$\arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{ako je }x > 0 \\ -\pi/2, & \mbox{ako je }x < 0 \end{matrix}\right.$

Kompozicija trigonometrijskih i inverznih trigonometrijskih funkcija

$\sin[\arccos(x)]=\sqrt{1-x^2} \,$	$\tan[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\sin[\arctan(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$	$\tan[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$
$\cos[\arctan(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$	$\cot[\arcsin (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$
$\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \,$	$\cot[\arccos (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

Povezanost sa kompleksnom eksponencijalnom funkcijom

$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\,$ Ovaj se izraz naziva Eulerova formula,

$e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos(x) - i\sin(x)\,$

$e^{i\pi} = -1$ Ovaj se izraz naziva Eulerov identitet,

$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \;$

$\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \;$

odnosno

$\tan(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{i({e^{ix} + e^{-ix}})}\; = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

gdje je $i^2 = -1$.

Povezanost s beskonačnim produktima

Podrobniji članak o temi: Beskonačni produkti
Pri rješavanju specijalnih funkcija, različite koristimo formule koje povezuju beskonačni produkt i trigonometrijske funkcije:

$\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$

$\sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$

$\frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)$

$\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

$\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

$|\sin x| = \frac1{2}\prod_{n = 0}^\infty \sqrt[2^{n+1}]{\left|\tan\left(2^n x\right)\right|}$

Identiteti bez varijabli

Identitet bez varijabli

$\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\frac{1}{8}$

je poseban slučaj identiteta s jednom varijablom:

$\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin(x)}.$

Nadalje, također vrijedi da je

$\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ\cdot\sin 80^\circ=\frac{\sqrt{3}}{8}.$

$\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7} = \frac{1}{8},$

$\tan 50^\circ\cdot\tan 60^\circ\cdot\tan 70^\circ=\tan 80^\circ.$

$\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac{1}{2}.$

$\begin{align} & \cos\left( \frac{2\pi}{21}\right) + \cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right) + \cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right) \\[10pt] & {} \qquad {} + \cos\left( 5\cdot\frac{2\pi}{21}\right) + \cos\left( 8\cdot\frac{2\pi}{21}\right) + \cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)=\frac{1}{2}. \end{align}$

Mnogo jednakosti ima osnovu u izrazima kao što su:

$\prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}}$

i

$\prod_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{\sin(\pi n/2)}{2^{n-1}}$

Njihovom kombinacijom dobivamo:

$\prod_{k=1}^{n-1} \tan\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{\sin(\pi n/2)}$

Ako je n neparan broj(n = 2m + 1) korištenjem simetrije dobivamo

$\prod_{k=1}^{m} \tan\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right) = \sqrt{2m+1}$

Određivanje broja π

$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$

$\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}.$

Mnemonički zapis za neke vrijednosti sinusa i kosinusa

$\begin{matrix} \sin 0 & = & \sin 0^\circ & = & \sqrt{0}/2 & = & \cos 90^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {2} \right) \\ \\ \sin \left( \frac {\pi} {6} \right) & = & \sin 30^\circ & = & \sqrt{1}/2 & = & \cos 60^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {3} \right) \\ \\ \sin \left( \frac {\pi} {4} \right) & = & \sin 45^\circ & = & \sqrt{2}/2 & = & \cos 45^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {4} \right) \\ \\ \sin \left( \frac {\pi} {3} \right) & = & \sin 60^\circ & = & \sqrt{3}/2 & = & \cos 30^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {6} \right)\\ \\ \sin \left( \frac {\pi} {2} \right) & = & \sin 90^\circ & = & \sqrt{4}/2 & = & \cos 0^\circ & = & \cos 0 \end{matrix}$

Zlatni rez φ

Podrobniji članci o temama: Zlatni rez i Trigonometrijske konstante

$\cos \left( \frac {\pi} {5} \right) = \cos 36^\circ={\sqrt{5}+1 \over 4} = \frac{\varphi }{2}$

$\sin \left( \frac {\pi} {10} \right) = \sin 18^\circ = {\sqrt{5}-1 \over 4} = {\varphi - 1 \over 2} = {1 \over 2\varphi}$

Euklidov identitet

$\sin^2(18^\circ)+\sin^2(30^\circ)=\sin^2(36^\circ). \,$

Infinitezimalni račun

Derivacije

Podrobniji članci o temama: Derivacija i Popis derivacija trigonometrijskih funkcija
Koristeći infinitezimalni račun, kutovi pri računanju moraju biti u radijanima. Derivacije trigonometrijskih funkcija mogu se odrediti pomoću dva limesa:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1,$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x }{x}=0,$

Deriviranjem trigonometrijskih funkcija dobivaju se slijedeći identiteti i pravila:

$\begin{align} {d \over dx} \sin x & = \cos x ,& {d \over dx} \arcsin x & = {1 \over \sqrt{1 - x^2}} \\ \\ {d \over dx} \cos x & = -\sin x ,& {d \over dx} \arccos x & = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \\ \\ {d \over dx} \tan x & = \sec^2 x ,& {d \over dx} \arctan x & = { 1 \over 1 + x^2} \\ \\ {d \over dx} \cot x & = -\csc^2 x ,& {d \over dx} \arccot x & = {-1 \over 1 + x^2} \\ \\ {d \over dx} \sec x & = \tan x \sec x ,& {d \over dx} \arcsec x & = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \\ \\ {d \over dx} \csc x & = -\csc x \cot x ,& {d \over dx} \arccsc x & = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \end{align}$

Integrali

Podrobniji članci o temama: Integrali i Popis integrala trigonometrijskih funkcija

$\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=\sin ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C$

$\int{\frac{du}{a^{2}+u^{2}}}=\frac{1}{a}\tan ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C$

$\int{\frac{du}{u\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\frac{1}{a}\sec ^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C$

Eksponencijalne definicije trigonometrijskih funkcija

Funkcija	Inverzna funkcija
$\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \,$	$\arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right) \,$
$\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \,$	$\arccos x = -i \ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,$
$\tan \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})} \,$	$\arctan x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right) \,$
$\csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,$	$\arccsc x = -i \ln \left(\tfrac{i}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{1}{x^2}}\right) \,$
$\sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}} \,$	$\arcsec x = -i \ln \left(\tfrac{1}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{i}{x^2}}\right) \,$
$\cot \theta = \frac{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,$	$\arccot x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{x - i}{x + i}\right) \,$
$\operatorname{cis} \, \theta = e^{i\theta} \,$	$\operatorname{arccis} \, x = \frac{\ln x}{i} = -i \ln x = \operatorname{arg} \, x \,$

Weierstrassova supstitucija

Podrobniji članak o temi: Weierstrassova supstitucija

Ako je

$t = \tan\left(\frac{x}{2}\right),$

tada vrijedi

$\sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2}\text{ and }\cos(x) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\text{ and }e^{i x} = \frac{1 + i t}{1 - i t}$

gdje je e^ix = cos(x) + i sin(x), što ponekad skraćeno pišemo kao  cis(x).

Vidi još

• Trigonometrija
• Dokazi trigonometrijskih identiteta
• Pitagorin trigonometrijski identitet
• Jedinična kružnica
• Trigonometrijske konstante
• Primjena trigonometrije
• Formula tangensa polovičnih kutova
• Pitagorin poučak
• Kosinusov poučak
• Sinusov poučak
• Tangensov poučak
• Mollweideova formula
• Popis derivacija trigonometrijskih funkcija
• Popis integrala trigonometrijskih funkcija
• Hiperbolna funkcija
• Versinus

Izvori

• (1972) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0

Vanjske poveznice

• Values of Sin and Cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of 5⅝°, Csc and Sec, Tan.