Popis trigonometrijskih identiteta

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Trigonometrijski identiteti su izrazi jednakosti koji pokazuju poveznice između pojedinih trigonometrijskih funkcija. Ti izrazi su istiniti za svaku odabranu vrijednost određene varijable (kuta ili nekog drugog broja). Kako su trigonometrijske funkcije međusobno povezane pomoću vrijednosti jedne, moguće je izraziti neku drugu funkciju. Identiteti se koriste kada je potrebno pojednostaviti izraze koji uključuju trigonometrijske funkcije.

Sadržaj

Nazivlje[uredi VE | uredi]

Kutovi[uredi VE | uredi]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Kut
Imena kutova se daju prema slovima grčkog alfabeta kao što su alfa (α), beta (β), gama (γ), delta (δ) i theta (θ). Mjerne jedinice za mjerenje kutova su stupnjevi, radijani i gradi:

1 puni krug  = 360 stupnjeva = 2\pi radijana  =  400 gradi.

Slijedeća tablica prikazuje pretvorbu mjernih jedinica za određene veličine kuteva:

Stupnjevi 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330°
Radijani \frac\pi6\! \frac\pi3\! \frac{2\pi}3\! \frac{5\pi}6\! \frac{7\pi}6\! \frac{4\pi}3\! \frac{5\pi}3\! \frac{11\pi}6\!
Gradi 33⅓ 66⅔ 133⅓ 166⅔ 233⅓ 266⅔ 333⅓ 366⅔
Stupnjevi 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
Radijani \frac\pi4\! \frac\pi2\! \frac{3\pi}4\! \pi\! \frac{5\pi}4\! \frac{3\pi}2\! \frac{7\pi}4\! 2\pi\!
Gradi 50 100 150 200 250 300 350 400

Kutovi se u trigonometriji najčešće izražavaju u radijanima i to bez mjerne jedinice, stupnjevi s oznakom ° se manje koriste, a gradi izrazito rijetko.

Trigonometrijske funkcije[uredi VE | uredi]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Trigonometrijske funkcije
Primarne trigonometrijske funkcije su sinus i kosinus kuta. Sinus se označava sa sinθ, a kosinus sa cosθ pri čemu je θ naziv kuta.

Tangens (tg, tan) kuta je omjer sinusa i kosinusa:

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}.

S druge strane, imamo i recipročne funkcije pri čemu je kosinusu recipročan sekans (sec), sinusu kosekans(csc, cosec), a tangensu kotangens (ctg, cot):

\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\quad\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta},\quad\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}.

Inverzne funkcije[uredi VE | uredi]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Inverzne trigonometrijske funkcije
Inverzne trigonometrijske funkcije ili arkus funkcije su inverzne funkcije trigonometrijskim funkcijama. Prema tome imamo, arkus sinus (arcsin, asin) je inverzna funkcija sinusnoj funkciji , pri čemu vrijedi da je

\sin(\arcsin x) = x\!

i

\arcsin(\sin \theta) = \theta\quad\text{za }-\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2.

U slijedećoj tablici su prikazane i druge komplementarne inverzne funkcije i kratice:

Trigonometrijska funkcija Sinus Kosinus Tangens Sekans Kosekans Kotangens
Kratica \operatorname{sin}\theta \operatorname{cos}\theta \operatorname{tan}\theta \operatorname{sec}\theta \operatorname{csc}\theta \operatorname{cot}\theta
Inverzna trigonometrijska funkcija Arkus sinus Arkus kosinus Arkus tangens Arkus sekans Arkus kosekans Arkus kotangens
Kratica \operatorname{arcsin}\theta \operatorname{arccos}\theta \operatorname{arctan}\theta \operatorname{arcsec}\theta \operatorname{arccsc}\theta \operatorname{arccot}\theta

Pitagorin trigonometrijski identitet[uredi VE | uredi]

Pitagorin trigonometrijski identitet je jedan od osnovnih trigonometrijskih identiteta i prikazuje odnos između sinusa i kosinusa:

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\!

gdje cos2 θ znači (cos(θ))2 i sin2 θ znači (sin(θ))2.

Izraz je u biti izvedenica Pitagorinog poučka i proizilazi iz jednakosti x^2 + y^2 = 1 \!\ koja vrijedi za jediničnu kružnicu. Ova jednadžba može biti rješena za sinus i za kosinus:

\sin\theta = \pm \sqrt{1-\cos^2\theta} \quad \text{i} \quad \cos\theta = \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}. \,

Povezani identiteti[uredi VE | uredi]

Podijelivši Pitagorin identitet sa cos2 θ ili sa sin2 θ dobivamo slijedeća dva identiteta:

1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\quad\text{i}\quad 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta.\!

Koristeći navedene identitete te omjere koji su korišteni pri definiranju trigonometrijskih funkcija, mogu se izvesti trigonometrijski identiteti gdje je jedna trigonometrijska funkcija prikazana pomoću druge:

Svaka trigonometrijska funkcija prikazana pomoću druge trigonometrijske funkcije[1]
in terms of  \sin \theta\!  \cos \theta\!  \tan \theta\!  \csc \theta\!  \sec \theta\!  \cot \theta\!
   \sin \theta =\!    \sin \theta\ \pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\! \pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\!    \frac{1}{\csc \theta}\! \pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}\! \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\!
   \cos \theta =\! \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}\!    \cos \theta\! \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\! \pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}\!    \frac{1}{\sec \theta}\! \pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\!
   \tan \theta =\! \pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\! \pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}\!    \tan \theta\! \pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\! \pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}\!    \frac{1}{\cot \theta}\!
   \csc \theta =\!    \frac{1}{\sin \theta}\! \pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\! \pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}\!    \csc \theta\! \pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\! \pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}\!
   \sec \theta =\! \pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\!    \frac{1}{\cos \theta}\! \pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}\! \pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\!    \sec \theta\! \pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}\!
   \cot \theta =\! \pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}\! \pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\!    \frac{1}{\tan \theta}\! \pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}\! \pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\!    \cot \theta\!

Ostale funkcije korištene u prošlosti[uredi VE | uredi]

Sve trigonometrijske funkcije kuta θ mogu biti geometrijski konstruirane s obzirom na jediničnu kružnicu sa središtem u  O. Pojedine se višse ne koriste.

Pojedine trigonometrijske fukcije više nisu u uporabi. Versinus, koversinus, haversinus i eksekans su se koristile pri navigaciji, a haversinusna formula se koristila za računanje udaljenosti dviju točaka na sferi.

Ime Kratica Vrijednost[2]
Versinus \operatorname{versin}(\theta)
\operatorname{vers}(\theta)
\operatorname{ver}(\theta)
1 - \cos (\theta)
Verkosinus \operatorname{vercosin}(\theta) 1 + \cos (\theta)
Koversinus \operatorname{coversin}(\theta)
\operatorname{cvs}(\theta)
1 - \sin(\theta)
Koverkosinus \operatorname{covercosin}(\theta) 1 + \sin(\theta)
Haversinus \operatorname{haversin}(\theta) \frac{1 - \cos (\theta)}{2}
Haverkosinus \operatorname{havercosin}(\theta) \frac{1 + \cos (\theta)}{2}
Hakoversinus \operatorname{hacoversin}(\theta) \frac{1 - \sin (\theta)}{2}
Hakoverkosinus \operatorname{hacovercosin}(\theta) \frac{1 + \sin (\theta)}{2}
Eksekans \operatorname{exsec}(\theta) \sec(\theta) - 1
Ekskosekans \operatorname{excsc}(\theta) \csc(\theta) - 1
Tetiva \operatorname{crd}(\theta) 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)

Simetrija, pomak i periodičnost[uredi VE | uredi]

Proučavajući jediničnu kružnicu mogu se uvidjeti pojedina svojstva trigonometrijske kružnice kao što su simetrija, razni pomaci i periodičnost funkcija. Formule u slijedeće dvije tablice se često nazivaju formule redukcije.

Simetrija[uredi VE | uredi]

Kada neku trigonometrijsku funkciju odbijemo za određeni kut (npr. π,π/2) rezultat često bude neka druga trigonometrijska funkcija.

Odbitak za \theta=0 [3] Odbitak za \theta= \pi/2
[4]
Odbitak za \theta= \pi

\begin{align}
\sin(-\theta) &= -\sin \theta \\
\cos(-\theta) &= +\cos \theta \\
\tan(-\theta) &= -\tan \theta \\
\csc(-\theta) &= -\csc \theta \\
\sec(-\theta) &= +\sec \theta \\
\cot(-\theta) &= -\cot \theta
\end{align}

\begin{align}
\sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\
\cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sin \theta \\
\tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cot \theta \\
\csc(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sec \theta \\
\sec(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\csc \theta \\
\cot(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta
\end{align}

\begin{align}
\sin(\pi - \theta) &= +\sin \theta \\
\cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\
\tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\
\csc(\pi - \theta) &= +\csc \theta \\
\sec(\pi - \theta) &= -\sec \theta \\
\cot(\pi - \theta) &= -\cot \theta \\
\end{align}

Pomaci i periodičnost[uredi VE | uredi]

Pomicanjem funkcije za određeni kut također se kao rezultat dobije neka druga trigonometrijska funkcija koja rezultat prikaže jednostavnije. To možemo vidjeti u primjerima pomaka za π/2, π i 2π radijana. S obzirom da su trigonomterijeske funkcije periodične, ovisno o funkciji za π (tangens i kotangens funkcija) ili 2π (sinus i kosinus funkcija), tada nova funkcija poprima istu vrijednost.

Pomak za π/2 Pomak za π
Period for tan and cot[5]
Pomak za 2π
Period for sin, cos, csc and sec[6]

\begin{align}
\sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\
\cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\
\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\cot \theta \\
\csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta \\
\sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\
\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta
\end{align}

\begin{align}
\sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\
\cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\
\tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\
\csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta \\
\sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\
\cot(\theta + \pi) &= +\cot \theta \\
\end{align}

\begin{align}
\sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\
\cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\
\tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\
\csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta \\
\sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\
\cot(\theta + 2\pi) &= +\cot \theta
\end{align}

Zbroj i razlika kutova[uredi VE | uredi]

Ovi trigonometrijski identiteti se nazivaju adicijske formule. Otkrio ih je prezijski matematičar Abū al-Wafā' Būzjānī u 10. stoljeću. Eulerova formula može pomoći pri dokazivanju ovih identiteta.

Sinus \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \![7]
Kosinus \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,[8]
Tangens \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}[9]
Arkus sinus \arcsin\alpha \pm \arcsin\beta = \arcsin(\alpha\sqrt{1-\beta^2} \pm \beta\sqrt{1-\alpha^2})[10]
Arkus kosinus \arccos\alpha \pm \arccos\beta = \arccos(\alpha\beta \mp \sqrt{(1-\alpha^2)(1-\beta^2)})[11]
Arkus tangens \arctan\alpha \pm \arctan\beta = \arctan\left(\frac{\alpha \pm \beta}{1 \mp \alpha\beta}\right)[12]

Matrični oblik[uredi VE | uredi]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Množenje matrica
Trigonometrijske formule zbroja i razlike za sinus i kosinus mogu biti zapisani u obliku matrice.


\begin{align}
& {} \quad
\left(\begin{array}{rr}
  \cos\phi    & -\sin\phi  \\
  \sin\phi & \cos\phi
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{rr}
  \cos\theta    & -\sin\theta  \\
  \sin\theta & \cos\theta
\end{array}\right) \\[12pt]
& = \left(\begin{array}{rr}
  \cos\phi\cos\theta - \sin\phi\sin\theta  & -\cos\phi\sin\theta - \sin\phi\cos\theta  \\
  \sin\phi\cos\theta + \cos\phi\sin\theta & -\sin\phi\sin\theta + \cos\phi\cos\theta 
\end{array}\right) \\[12pt]
& = \left(\begin{array}{rr}
  \cos(\theta+\phi) & -\sin(\theta+\phi) \\
  \sin(\theta+\phi) & \cos(\theta+\phi)
\end{array}\right)
\end{align}

Sinus i kosinus zbroja beskonačno mnogo veličina[uredi VE | uredi]

 \sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
=\sum_{\text{odd}\  k \ge 1} (-1)^{(k-1)/2}
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)
 \cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
=\sum_{\text{even}\  k \ge 0} ~ (-1)^{k/2} ~~
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)

Tangens zbroja konačno mnogo veličina[uredi VE | uredi]

Neka je e_k \, (za k ∈ {0, ..., n}) k-ti stupanj osnovnog simetričnog polinoma pri čemu je

x_i = \tan \theta_i\,

za i ∈ {0, ..., n} pa slijedi


\begin{align}
e_0 & = 1 \\[6pt]
e_1 & = \sum_{1 \le i \le n} x_i & & = \sum_{1 \le i \le n} \tan\theta_i \\[6pt]
e_2 & = \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j & & = \sum_{1 \le i < j \le n} \tan\theta_i \tan\theta_j \\[6pt]
e_3 & = \sum_{1 \le i < j < k \le n} x_i x_j x_k & & = \sum_{1 \le i < j < k \le n} \tan\theta_i \tan\theta_j \tan\theta_k \\
& {}\  \ \vdots & & {}\  \  \vdots
\end{align}

Tada vrijedi da je

\tan(\theta_1+\cdots+\theta_n) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots},\!

u ovisnosti o broju n.

Na primjer:

 \begin{align}
\tan(\theta_1 + \theta_2) &
= \frac{ e_1 }{ e_0 - e_2 }
= \frac{ x_1 + x_2 }{ 1 \ - \ x_1 x_2 }
= \frac{ \tan\theta_1 + \tan\theta_2 }{ 1 \ - \ \tan\theta_1 \tan\theta_2 }
,
\\ \\
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) &
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 }
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3) }{ 1 \ - \ (x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) },
\\ \\
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) &
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 + e_4 } \\ \\ &
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) }{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4) },
\end{align}

i tako dalje. Naveden identitet se može dokazati matematičkom indukcijom.[13]

Sekans i kosekans zbroja konačno mnogo veličina[uredi VE | uredi]


\begin{align}
\sec(\theta_1 + \cdots + \theta_n) & = \frac{\sec\theta_1 \cdots \sec\theta_n}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} \\[8pt]
\csc(\theta_1 + \cdots + \theta_n) & = \frac{\sec\theta_1 \cdots \sec\theta_n}{e_1 - e_3 + e_5 - \cdots}
\end{align}

gdje je e_k \, k-ti stupanj osnovnog simetričnog polinoma za n varijabla xi = tan θi, i = 1, ..., n, a broj veličina u nazivniku ovisi o  n.

Na primjer,


\begin{align}
\sec(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \tan\alpha\tan\beta - \tan\alpha\tan\gamma - \tan\beta\tan\gamma } \\[8pt]
\csc(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{\tan\alpha + \tan\beta + \tan\gamma - \tan\alpha\tan\beta\tan\gamma}
\end{align}

Identiteti za višestruke kutove[uredi VE | uredi]

Tn je n-ti Chebyshevljev polinom \cos n\theta =T_n (\cos \theta )\,  
Sn je n-ti polinom širine \sin^2 n\theta = S_n (\sin^2\theta)\,
De Moivreova formula, i je imaginarna jedinica \cos n\theta +i\sin n\theta=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n \,    [14]

Trigonomterijski identiteti dvostrukih, trostrukih i polovičnih kutova[uredi VE | uredi]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Formula tangensa polovičnih kutova

Formule dvostrukog kuta[15]
\begin{align}
\sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}
\end{align}


\begin{align}
\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}
\end{align}
\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\!
\cot 2\theta = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta}\!

Formule trostrukog kuta
\begin{align}\sin 3\theta & = 3 \cos^2\theta \sin\theta - \sin^3\theta & = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \end{align}


\begin{align}\cos 3\theta & = \cos^3\theta - 3 \sin^2 \theta\cos \theta & = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta\end{align}
\tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}\!
\cot 3\theta = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}\!

Formule polovičnog kuta[16]
\sin \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}


\cos \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}
\tan \frac{\theta}{2} = \csc \theta - \cot \theta = \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}
\tan\frac{\eta+\theta}{2} = \frac{\sin\eta+\sin\theta}{\cos\eta+\cos\theta}
\tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \sec\theta + \tan\theta
\sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} = \frac{1 - \tan(\theta/2)}{1 + \tan(\theta/2)}
\tan\tfrac{1}{2}\theta = \frac{\tan\theta}{1 + \sqrt{1+\tan^2\theta}} \mbox{za}\quad \theta \in \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2} \right)
\cot \frac{\theta}{2} = \csc \theta + \cot \theta = \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}

Sinus, kosinus i tangens višestrukih kutova[uredi VE | uredi]

\sin n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\sin\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)

\cos n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\cos\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)

\tan\,(n{+}1)\theta = \frac{\tan n\theta + \tan \theta}{1 - \tan n\theta\,\tan \theta}.

\cot\,(n{+}1)\theta = \frac{\cot n\theta\,\cot \theta - 1}{\cot n\theta + \cot \theta}.

Chebyshevljeva metoda[uredi VE | uredi]

Chebyshevljeva metoda je rekurzivni algoritam za nalaženje formula n-tih višestrukih kutova poznavajući (n − 1)-te i (n − 2)-te formule.[17]

\cos nx = 2 \cdot \cos x \cdot \cos (n-1) x - \cos (n-2) x \,
\sin nx = 2 \cdot \cos x \cdot \sin (n-1) x - \sin (n-2) x \,
\tan nx = \frac{H + K \tan x}{K- H \tan x} \,

gdje je H/K = tan(n − 1)x.

Tangens prosjeka[uredi VE | uredi]

 \tan\left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right)
= \frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta}
= -\,\frac{\cos\alpha - \cos\beta}{\sin\alpha - \sin\beta}

Ako su α ili β jednaki 0 tada dobivamo formulu za tangens polovičnog kuta.

Vièteov beskonačni produkt[uredi VE | uredi]

 \cos\left({\theta \over 2}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 4}\right)
\cdot \cos\left({\theta \over 8}\right)\cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos\left({\theta \over 2^n}\right)
= {\sin(\theta)\over \theta} = \operatorname{sinc}\,\theta.

Identiteti potenciranih trigonometrijskih funkcija[uredi VE | uredi]

Sinus Kosinus Druge
\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}\! \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\! \sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}\!
\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4}\! \cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}\! \sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin 2\theta - \sin 6\theta}{32}\!
\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}\! \cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}\! \sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos 4\theta + \cos 8\theta}{128}\!
\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin 3\theta + \sin 5\theta}{16}\! \cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}\! \sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin 2\theta - 5\sin 6\theta + \sin 10\theta}{512}\!

Za izvode potencija sinus i kosinusa kuta se koriste De Moivreova formula, Eulerov poučak i binomni poučak.

Kosinus Sinus
\text{ako je }n\text{ neparan} \cos^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)} \sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{(\frac{n-1}{2}-k)} \binom{n}{k} \sin{((n-2k)\theta)}
\text{ako je }n\text{ paran} \cos^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)} \sin^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{(\frac{n}{2}-k)} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}

Formule pretvorbi umnoška u zbroj i zbroja u umnožak[uredi VE | uredi]

Umnožak u zbroj[18]
\cos \theta \cos \varphi = {\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi) \over 2}
\sin \theta \sin \varphi = {\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi) \over 2}
\sin \theta \cos \varphi = {\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi) \over 2}
\cos \theta \sin \varphi = {\sin(\theta + \varphi) - \sin(\theta - \varphi) \over 2}
Zbroj u umnožak[19]
\sin \theta \pm \sin \varphi = 2 \sin\left( \frac{\theta \pm \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta \mp \varphi}{2} \right)
\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)
\cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left( {\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi \over 2}\right)

Drugi povezani identiteti[uredi VE | uredi]

Ako su x, y i z bilo kojeg trokuta, tada vrijedi

\text{ako je zbroj }x + y + z = \pi = \text{polukrug,}\,
\text{onda je }\tan(x) + \tan(y) + \tan(z) = \tan(x)\tan(y)\tan(z).\,

odnosno

\text{ako je zbroj }x + y + z = \pi = \text{polukrug,}\,
\text{onda je }\sin(2x) + \sin(2y) + \sin(2z) = 4\sin(x)\sin(y)\sin(z).\,

Hermiteov kotangensov identitet[uredi VE | uredi]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Hermiteov kotangensov identitet

Charles Hermite je pokazao da vrijedi određena jednakost[20] gdje su varijable a1, ..., an kompleksni brojevi. Neka je

 A_{n,k} = \prod_{\begin{smallmatrix} 1 \le j \le n \\ j \neq k \end{smallmatrix}} \cot(a_k - a_j)

te u slučaju kada je A1,1, dobiva se prazan produkt, koji je jednak  1. Općenito se dobiva slijedeća vrijednost:

 \cot(z - a_1)\cdots\cot(z - a_n) = \cos\frac{n\pi}{2} + \sum_{k=1}^n A_{n,k} \cot(z - a_k).

U najjednostavnijem slučaju za n = 2 vrijedi:

 \cot(z - a_1)\cot(z - a_2) = -1 + \cot(a_1 - a_2)\cot(z - a_1) + \cot(a_2 - a_1)\cot(z - a_2).

Ptolemejev teorem[uredi VE | uredi]

Ove jednakosti predstavljaju trigonometrijski oblik ptolomejevog teorema.

 \text{Ako su }w + x + y + z = \pi = \text{polukrug,} \,
\begin{align} \text{tada vrijedi }
&     \sin(w + x)\sin(x + y) \\
&{} = \sin(x + y)\sin(y + z) \\
&{} = \sin(y + z)\sin(z + w) \\
&{} = \sin(z + w)\sin(w + x) = \sin(w)\sin(y) + \sin(x)\sin(z).
\end{align}

Linearne kombinacije[uredi VE | uredi]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Fazni vektor
Bilo koja linearna kombinacija sinusnih valova istih perioda ili frekvencija s različitim faznim pomacima je također sinusni val sa istom periodom ili frekvencijom s različitim faznim pomakom. Kod nenulte linearne kombinacije sinusnog i kosinusnog vala [21], se dobiva

a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)\,

gdje je


\varphi = \begin{cases}\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)
& \text{ako je }a \ge 0, \\
\pi-\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right) & \text{ako je }a < 0,
\end{cases}

što je ekvivalentno s


\varphi = \arctan \left(\frac{b}{a}\right) + \begin{cases}
0 & \text{ako je }a \ge 0, \\
\pi & \text{ako je }a < 0,
\end{cases}

ili čak s


\varphi = \text{sgn}(b)\cos^{-1}\left(\tfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)

Općenito za proizvoljan fazni pomak vrijedi

a\sin x+b\sin(x+\alpha)= c \sin(x+\beta)\,

gdje je

c = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cos \alpha},\,

i


  \beta = \arctan \left(\frac{b\sin \alpha}{a + b\cos \alpha}\right) + \begin{cases}
0 & \text{ako je } a + b\cos \alpha \ge 0, \\
\pi & \text{ako je } a + b\cos \alpha < 0.
\end{cases}

Lagrangeovi trigonometrijski identiteti[uredi VE | uredi]

Ovi identiteti su ime dobili po Josephu Louisu Lagrangeu.[22][23]


\begin{align}
\sum_{n=1}^N \sin n\theta & = \frac{1}{2}\cot\theta-\frac{\cos(N+\frac{1}{2})\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta}\\
\sum_{n=1}^N \cos n\theta & = -\frac{1}{2}+\frac{\sin(N+\frac{1}{2})\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta}
\end{align}

S njima je povezana funkcija koja se naziva Dirichletova jezgra.

1+2\cos(x) + 2\cos(2x) + 2\cos(3x) + \cdots + 2\cos(nx)
= \frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}.

Ostali oblici zbrojeva trigonometrijskih funkcija[uredi VE | uredi]

Zbroj sinusa i kosinusa sa varijablama u aritmetičkom nizu [24]:


\begin{align}
& \sin{\varphi} + \sin{(\varphi + \alpha)} + \sin{(\varphi + 2\alpha)} + \cdots {} \\[8pt]
& {} \qquad\qquad \cdots + \sin{(\varphi + n\alpha)} = \frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \sin{(\varphi + \frac{n \alpha}{2})}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}. \\[10pt]
& \cos{\varphi} + \cos{(\varphi + \alpha)} + \cos{(\varphi + 2\alpha)} + \cdots {} \\[8pt]
& {} \qquad\qquad \cdots + \cos{(\varphi + n\alpha)} = \frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \cos{(\varphi + \frac{n \alpha}{2})}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}.
\end{align}

Za bilo koji a i b vrijedi:

a \cos(x) + b \sin(x) = \sqrt{ a^2 + b^2 } \cos(x - \operatorname{atan2}\,(b,a)) \;

gdje je atan2(y, x) poopćenje funkcije arctan(y/x) koja pokriva cijeli kružni opseg.

Koristeći Gudermannovu funkciju koja povezuje cirkularne i hiperbolne trigonometrijske funkcije bez korištenja kompleksnih brojeva može se iskoristiti slijedeći izraz:

\tan(x) + \sec(x) = \tan\left({x \over 2} + {\pi \over 4}\right).

Ako su x, y i z ako su kutovi bilo kojeg trokuta odnosno x + y + z = π, tada je

\cot(x)\cot(y) + \cot(y)\cot(z) + \cot(z)\cot(x) = 1.\,

Određene linearne frakcionalne transformacije[uredi VE | uredi]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Möbiusova transformacija
Ako je ƒ(x) dan linearnom frakcionalnom transformacijom

 f(x) = \frac{(\cos\alpha)x - \sin\alpha}{(\sin\alpha)x + \cos\alpha},

i slično tome

 g(x) = \frac{(\cos\beta)x - \sin\beta}{(\cos\beta)x + \sin\beta},

tada vrijedi

 f(g(x)) = g(f(x))
= \frac{(\cos(\alpha+\beta))x - \sin(\alpha+\beta)}{(\sin(\alpha+\beta))x + \cos(\alpha+\beta)}.

Kraće rečeno, ako je za sve α funkcija ƒα baš ta gore prikazana funkcija ƒ tada vrijedi da je

 f_\alpha \circ f_\beta = f_{\alpha+\beta}. \,

Identiteti s inverznim trigonometrijskim funkcijama[uredi VE | uredi]

 \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi/2\;
 \arctan(x)+\arccot(x)=\pi/2.\;
\arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{ako je }x > 0 \\  -\pi/2, & \mbox{ako je }x < 0 \end{matrix}\right.

Kompozicija trigonometrijskih i inverznih trigonometrijskih funkcija[uredi VE | uredi]

\sin[\arccos(x)]=\sqrt{1-x^2} \, \tan[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
\sin[\arctan(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \tan[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}
\cos[\arctan(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \cot[\arcsin (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}
\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \, \cot[\arccos (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}

Povezanost sa kompleksnom eksponencijalnom funkcijom[uredi VE | uredi]

e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\,[25] Ovaj se izraz naziva Eulerova formula,
e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos(x) - i\sin(x)\,
e^{i\pi} = -1 Ovaj se izraz naziva Eulerov identitet,
\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \;[26]
\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \;[27]

odnosno

\tan(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{i({e^{ix} + e^{-ix}})}\; = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

gdje je i^2 = -1.

Povezanost s beskonačnim produktima[uredi VE | uredi]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Beskonačni produkti
Pri rješavanju specijalnih funkcija, različite koristimo formule koje povezuju beskonačni produkt i trigonometrijske funkcije:[28][29]

\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)
\sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)
\frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)
\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)
\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)
|\sin x| = \frac1{2}\prod_{n = 0}^\infty \sqrt[2^{n+1}]{\left|\tan\left(2^n x\right)\right|}

Identiteti bez varijabli[uredi VE | uredi]

Identitet bez varijabli

\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\frac{1}{8}

je poseban slučaj identiteta s jednom varijablom:

\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin(x)}.

Nadalje, također vrijedi da je

\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ\cdot\sin 80^\circ=\frac{\sqrt{3}}{8}.
 \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7} = \frac{1}{8},
\tan 50^\circ\cdot\tan 60^\circ\cdot\tan 70^\circ=\tan 80^\circ.
\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac{1}{2}.

\begin{align}
& \cos\left( \frac{2\pi}{21}\right)
  + \cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right)   
  + \cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right) \\[10pt]
& {} \qquad {} + \cos\left( 5\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
  + \cos\left( 8\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
  + \cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)=\frac{1}{2}.
\end{align}

Mnogo jednakosti ima osnovu u izrazima kao što su[30]:

 \prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}}

i

 \prod_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{\sin(\pi n/2)}{2^{n-1}}

Njihovom kombinacijom dobivamo:

 \prod_{k=1}^{n-1} \tan\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{\sin(\pi n/2)}

Ako je n neparan broj(n = 2m + 1) korištenjem simetrije dobivamo

 \prod_{k=1}^{m} \tan\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right) = \sqrt{2m+1}

Određivanje broja π[uredi VE | uredi]

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}
\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}.

Mnemonički zapis za neke vrijednosti sinusa i kosinusa[uredi VE | uredi]


\begin{matrix}
\sin 0 & = & \sin 0^\circ & = & \sqrt{0}/2 & = & \cos 90^\circ &  =  & \cos \left( \frac {\pi} {2} \right) \\  \\
\sin \left( \frac {\pi} {6} \right) & = & \sin 30^\circ & = & \sqrt{1}/2 & = & \cos 60^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {3} \right) \\  \\
\sin \left( \frac {\pi} {4} \right) & = & \sin 45^\circ & = & \sqrt{2}/2 & = & \cos 45^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {4} \right) \\  \\
\sin \left( \frac {\pi} {3} \right) & = & \sin 60^\circ & = & \sqrt{3}/2 & = & \cos 30^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {6} \right)\\  \\
\sin \left( \frac {\pi} {2} \right) & = & \sin 90^\circ & = & \sqrt{4}/2 & = & \cos 0^\circ & = & \cos 0 
\end{matrix}

Zlatni rez φ[uredi VE | uredi]

Vista-xmag.pngPodrobniji članci o temama: Zlatni rez i Trigonometrijske konstante

\cos \left( \frac {\pi} {5} \right) = \cos 36^\circ={\sqrt{5}+1 \over 4} = \frac{\varphi }{2}
\sin \left( \frac {\pi} {10} \right) = \sin 18^\circ = {\sqrt{5}-1 \over 4}  = {\varphi - 1 \over 2} = {1 \over 2\varphi}

Euklidov identitet[uredi VE | uredi]

\sin^2(18^\circ)+\sin^2(30^\circ)=\sin^2(36^\circ). \,

Infinitezimalni račun[uredi VE | uredi]

Derivacije[uredi VE | uredi]

Vista-xmag.pngPodrobniji članci o temama: Derivacija i Popis derivacija trigonometrijskih funkcija
Koristeći infinitezimalni račun, kutovi pri računanju moraju biti u radijanima. Derivacije trigonometrijskih funkcija mogu se odrediti pomoću dva limesa:

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1,
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x }{x}=0,

Deriviranjem trigonometrijskih funkcija dobivaju se slijedeći identiteti i pravila:[31][32][33]


\begin{align}
{d \over dx} \sin x & = \cos x          ,& {d \over dx} \arcsin x & =  {1 \over \sqrt{1 - x^2}}      \\  \\
{d \over dx} \cos x & = -\sin x         ,& {d \over dx} \arccos x & = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}      \\  \\
{d \over dx} \tan x & = \sec^2 x        ,& {d \over dx} \arctan x & = { 1 \over 1 + x^2}             \\  \\
{d \over dx} \cot x & = -\csc^2 x       ,& {d \over dx} \arccot x & = {-1 \over 1 + x^2}             \\  \\
{d \over dx} \sec x & = \tan x \sec x   ,& {d \over dx} \arcsec x & = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}   \\  \\
{d \over dx} \csc x & = -\csc x \cot x  ,& {d \over dx} \arccsc x & = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
\end{align}

Integrali[uredi VE | uredi]

Vista-xmag.pngPodrobniji članci o temama: Integrali i Popis integrala trigonometrijskih funkcija

\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=\sin ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{a^{2}+u^{2}}}=\frac{1}{a}\tan ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{u\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\frac{1}{a}\sec ^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C

Eksponencijalne definicije trigonometrijskih funkcija[uredi VE | uredi]

Funkcija Inverzna funkcija[34]
\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \, \arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right) \,
\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \, \arccos x = -i \ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,
\tan \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})} \, \arctan x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right) \,
\csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \, \arccsc x = -i \ln \left(\tfrac{i}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{1}{x^2}}\right) \,
\sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}} \, \arcsec x = -i \ln \left(\tfrac{1}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{i}{x^2}}\right) \,
\cot \theta = \frac{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \, \arccot x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{x - i}{x + i}\right) \,
\operatorname{cis} \, \theta = e^{i\theta} \, \operatorname{arccis} \, x = \frac{\ln x}{i} = -i \ln x = \operatorname{arg} \, x \,

Weierstrassova supstitucija[uredi VE | uredi]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Weierstrassova supstitucija

Ako je

t = \tan\left(\frac{x}{2}\right),

tada vrijedi [35]

\sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2}\text{ and }\cos(x) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\text{ and }e^{i x} = \frac{1 + i t}{1 - i t}

gdje je eix = cos(x) + i sin(x), što ponekad skraćeno pišemo kao  cis(x).

Vidi još[uredi VE | uredi]

Bilješke[uredi VE | uredi]

  1. Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45
  2. Abramowitz and Stegun, p. 78, 4.3.147
  3. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15
  4. The Elementary Identities
  5. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.9
  6. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–8
  7. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16
  8. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17
  9. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18
  10. Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.42
  11. Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.43
  12. Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.36
  13. Bronstein, Manual (1989). "Simplification of Real Elementary Functions". Proceedings of the ACM-SIGSAM 1989 international symposium on Symbolic and algebraic computation: 211.
  14. Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.48
  15. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26
  16. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22
  17. Ken Ward's Mathematics Pages, http://www.trans4mind.com/personal_development/mathematics/trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula.htm
  18. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.31–33
  19. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.34–39
  20. Warren P. Johnson, "Trigonometric Identities à la Hermite", American Mathematical Monthly, volume 117, number 4, April 2010, pages 311–327
  21. Proof at http://pages.pacificcoast.net/~cazelais/252/lc-trig.pdf
  22. Eddie Ortiz Muñiz (February 1953). "A Method for Deriving Various Formulas in Electrostatics and Electromagnetism Using Lagrange's Trigonometric Identities". American Journal of Physics 21.
  23. Alan Jeffrey and Hui-hui Dai (2008). “Section 2.4.1.6”, Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 4th, Academic Press. ISBN 9780123742889
  24. Michael P. Knapp, Sines and Cosines of Angles in Arithmetic Progression
  25. Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.47
  26. Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.2
  27. Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.1
  28. Abramowitz and Stegun, p. 75, 4.3.89–90
  29. Abramowitz and Stegun, p. 85, 4.5.68–69
  30. Weisstein, Eric W., "Sine" from MathWorld
  31. Abramowitz and Stegun, p. 77, 4.3.105–110
  32. Abramowitz and Stegun, p. 82, 4.4.52–57
  33. Finney, Ross (2003). Calculus : Graphical, Numerical, Algebraic, str. 159–161, Glenview, Illinois: Prentice Hall. ISBN 0-13-063131-0
  34. Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31
  35. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.23

Izvori[uredi VE | uredi]

Vanjske poveznice[uredi VE | uredi]