Bernoullijeva jednadžba

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Bernoullijeva jednadžba prikazuje odnos između brzine, tlaka i gustoće tekućine u kretanju. Ona kaže da je u slučaju stabilnog strujanja nestlačive idealne tekućine, bez trenja, ukupna energija tekućine jednaka duž svih prereza; porastom brzine tekućine pada njen hidrostatski tlak i obratno. Zbroj hidrostatskog tlaka i hidrodinamičkog tlaka u vodoravnom strujanju daje ukupan tlak koji je konstantan u svim prerezima cijevi. Drugim riječima, Bernoullijeva jednadžba predstavlja zakon očuvanja energije koji nam u slučaju stacionarnog strujanja tekućine govori da Za vrijeme stacionarnog strujanja jedinica mase tekućine (njen diferencijalni dio) ima konstantnu energiju duž cijele strujne cijevi.


Odnosno Bernouiiljeva jednadžba govori o konstantnosti:

Objašnjenje Bernoullieve jednadžbe[uredi VE | uredi]

Bernoulli equation.jpg

Kroz cijevi različitog promjera protječe tekućina (slika). Okomito na smjer strujanja postavljene su pijezometarske cjevčice (1) koje pokazuju veličinu statičkog tlaka mjerenog u pravcu okomito na smjer strujanja, kako bi se izbjegao utjecaj tlaka uslijed gibanja tekućine. Pitotove cijevčice sa savijenim uronjenim krajevima u smjeru strujanja (2) po zakonu o spojenim posudama imaju istu razinu kao i posuda (3). Pijezometarska i brzinska visina mogu se odrediti pomoću pijezometarske i Pitotove cijevi. Suma tih visina je konstantna i jednaka H bez obzira koju strujnu cijev promatramo.


Na užim mjestima statički tlak je manji, a na širim veći. U ravnomjernom strujanju tekućine kroz cijev brzina u užim dijelovima je veća iz čega proizlazi da je na mjestima manje brzine strujanja statički tlak veći, a na mjestima veće brzine statički tlak manji.

Osnovne i izvedene mjerne jedinice koje se koristi B. jednadžba[uredi VE | uredi]

ρGustoća - (kg/m^3)
S - presjek predstavlja površinu poprečnog presjeka ili Ploština - (m^2).
p - statički tlak - (Pa)
v - brzina - (m/s)
mmasa tekućine - (kg)
R - mehanički rad - (J)
V - volumen mase tekućine - (m^3)
  • Bernoullieva jednadžba koristi SI sustav jedinica.


Ulaskom u uži dio cijevi, presjeka S_2 i statičkog tlaka p_2 tekućina dobije veću brzinu v_2. Masa tekućine m ima u širem dijelu cijevi kinetičku energiju:

  \frac{ m \cdot v_1^2}{2}
a kad uđe u uži dio kinetičku energiju:
  \frac{ m \cdot v_2^2}{2}

Povećanje kinetičke energije posljedica je mehaničkog rada R koji je nastao radi razlike tlakova (p_1-p_2) s_1 pri gibanju mase m tekućine iz šireg dijela cijevi u uži na putu ΔS:

R = (p_1-p_2) s_1 ΔS
R= (p_1-p_2) V , gdje je V volumen mase tekućine.

Taj je rad jednak povećanju kinetičke energije:

(p_1-p_2) V =   \frac{ m \cdot v_2^2}{2} -   \frac{ m \cdot v_1^2}{2}

Dijeljenjem gornje jednakosti s volumenom, znajući da je gustoća ρ =   \frac {m}{V} dobivamo Bernoullijevu jednađbu:

p_1 +   \frac{\rho \cdot v_1^2}{2} = p_2 +   \frac{\rho \cdot v_2^2}{2} = p_3 +   \frac{\rho \cdot v_3^2}{2} = konst.

Izrazi   \frac{\rho \cdot v_1^2}{2} , p_2 +   \frac{\rho \cdot v_2^2}{2} i p_3 +   \frac{\rho \cdot v_3^2}{2} prikazuju tlak koji je nastao uslijed strujanja tekućine i zove se dinamički tlak.

Oblik Bernoullijeve jednadžbe za idealnu tekućinu[uredi VE | uredi]

Osnovne pretpostavke pod kojim vrijedi ova jednadžba su:
  1. tekućina je idealna - nestlačiva tekućina, linija energije je konstantna duž presjeka
  2. Stacionarno strujanje

\ z_1+ {p_1 \over \rho g}+{v^2_1 \over 2g}=z_2+ {p_2 \over \rho g}+{v^2_2 \over 2g}=H

Izvod Bernoullieve jednadžbe preko zakona održanja količine gibanja[uredi VE | uredi]

Bernoullijeva jednadžba je prvi puta izvedena 1738. godine primjenom zakona održanja količine gibanja.

Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ovaj izvod su:

  1. fiktivna cijev ili proračun za konačni element neke cijevi,
  2. Stacionarno strujanje ili postupno promjenjivo strujanje.


Izvod Bernoullieve jednadžbe preko Eulerovog integrala[uredi VE | uredi]

Eulorove diferencijalne jednadžbe kretanja tekućine - implicitni oblik


\ \frac{1}{\rho} \frac{\delta p}{\delta x} = X -  \frac{d u }{d t } ... ... ...(1E)
\ \frac{1}{\rho} \frac{\delta p}{\delta y} = Y -  \frac{d v }{d t } ... ... ...(2E)
\ \frac{1}{\rho} \frac{\delta p}{\delta z} = Z -  \frac{d W }{d t } ... ... ...(3E)

\ \rho =konst - nema općeg rješenja jer imamo 4 nepoznanice. Rješenje je moguće samo ako definiramo pretpostavku koja će eliminirati nepoznanicu viška.

Osnovna pretpostavka:
matematičke transformacije - (1E) množimo s dx, (2E) množimo s dy, (3E) množimo s dz i sumiramo dobivene jednadžbe.

\ \frac{1}{\rho} (\frac{\delta p}{\delta x}dx + \frac{\delta p}{\delta y}dy + \frac{\delta p}{\delta z}dz)=Xdx+Ydy+Zdz - ( du \overbrace{ \frac{d x }{d t }}^{u} + dv \overbrace{ \frac{d y }{d t }}^{v} + dw \overbrace{ \frac{d z }{d t })}^{w}

pa dobijemo jednadžbu:

\ 0=Xdx+Ydy+Zdz - \frac{1}{\rho} \delta p - (udu+vdv+wdw)

možemo derivirati

\ udu= \frac{1}{2} d u^2
\ vdv= \frac{1}{2} d v^2
\ wdw= \frac{1}{2} d w^2

dakle, sada imamo ovaj oblik jednadžbe

\ 0=Xdx+Ydy+Zdz - \frac{\delta p}{\rho} - \frac {1}{2}d (u^2+v^2+w^2)
\ 0=Xdx+Ydy+Zdz - \frac{\delta p}{\rho} - \frac {1}{2}d (W^2)

  • ako imamo strujnu cijev u kojoj dijeluje samo gravitacija u normalnom koordinatnom sustavu. Možemo pojednostaviti ovako;

\ X=0, Y=0, Z=-g
\ -gdz - \frac{\delta p}{\rho}- \frac{1}{2} d(W^2)=0  ... operacije/ \int / : -g
I konačno Eulerov integral koji predstavlja izvod bernoullieve jednadžbe:
\ z+ \frac {p}{\rho g} + \frac {W^2}{2g}= konstanta

Oblik Bernoullijeve jednadžbe za realnu tekućinu[uredi VE | uredi]

\ z_1+ {p_1 \over \rho g}+{\alpha_1 v^2_1 \over 2g}=z_2+ {p_2 \over \rho g}+{\alpha_2 v^2_2 \over 2g}+ \Delta H

    • \ \Delta H je dio specifične energije utrošen na svladavanje hidrodinamičkih otpora strujanju kapljevine. Izražava se u \ (m).

Coriolisov koeficijent[uredi VE | uredi]

Ili koeficijent kinetičke energije \ \alpha_{1,2}. On pokazuje odnos stvarne kinetičke energije mase fluida koji protječe poprečnim presjekom u jedinici vremena i kinetičke energije određene iz uvjeta da su brzine u svim točkama presjeka jednake (srednja brzina). Koeficijent kinetičke energije je bezdimenzionalna jedinica.

Koeficijent kinetičke energije najčešće ima slijedeće vrijednosti:
    • kod strujanja u cijevima \alpha=1,0
    • kod strujanja u otvorenim vodotocima \alpha=1,1
    • vrijednost \alpha možemo računati ovom formulom:

\ \alpha= \frac{ \int_A v^3 dA}{v_{sr}^3A} - postavlja se uvjet da je \alpha \geq 1

Praktična primjena Bernoullieve jednadžbe[uredi VE | uredi]

Primjer cijevi pod tlakom[uredi VE | uredi]

cijev pod tlakom

znamo: \ d=konstantno, Q=konstantno -> v=konstantno.

gubitak tlaka predstavlja razliku pijezometarskih visina u presjecima (1) i (2). Za slučaj da je cijev horizontalna vrijedi: z_1=z_2

\ z_1+ \frac{p_1}{ \rho g}=z_2+ \frac{p_2}{ \rho g} + \Delta H
\  \Delta H =(z_1+ \frac{p_1}{ \rho g})-(z_2+ \frac{p_2}{ \rho g})

Primjer za otvoreni vodotok[uredi VE | uredi]

otvoreni vodotok


znamo: ako je strujanje jednoliko \ v=konstantno.

\ l_0=l_p=l_e=l

\ p_1=p_2=p_{atm}


  • atmosferski tlak djeluje na površini vodotoka
  • u pijezometrima se voda podiže do razine vode u vodotoku
linija vodnog lica je pijezometarska linija







Primjer za Venturijev vodomjer[uredi VE | uredi]

Zaključak[uredi VE | uredi]

\ p_s + \ p_d = p_u  =  konst.

gdje je \ p_s hidrostatski tlak, \ p_d  =  \frac{\rho \cdot v^2}{2} dinamički tlak, a \ p_u ukupni tlak, konstantan u cijelom horizontalnom cjevovodu bez obzira na presjek.


  • Bernoullijev zakon ili Bernoullijeva jednadžba služi za proračun brzine, tlaka ili gubitaka kod tečenja tekućine kroz otvorene i zatvorene vodotoke za idealnu i realnu tekućinu. Pošto se radi o tekućinama ,tj. fluidima, Bernoullieva jednadžba služi kao temeljna postavka za objašnjavanje uzgona aeroprofila.